8.85?10?12???38.2?10?3?4?0.25?10?3?40.6?10?12?F??40.6pF由于
??2
Xc?111???C02?fC02??400?40.6?10?12
6 ?9.8?10?????R(?5.1k?) 则
U?CUi?dU0?i?2C02?0
从而得
Ku? (2) U0 = Ku Δd=0.12V/?m×10?m=1.2V
4—4 有一台变间隙非接触式电容测微仪，其传感器的极板半径r=4mm，假设与被测工件的初始间隙d0=0.3mm。试求：
(1)如果传感器与工件的间隙变化量△d=±10μm，电容变化量为多少? (2)如果测量电路的灵敏度足Ku=100mV/pF，则在△d=±1μm时的输出电压为多少? 解：由题意可求
（1）初始电容：
U0U60?i??120V/mm?0.12V/μm?d2?02?0.25
8.85?10?12???4?10?3C0???d0d00.3?10?3?1.48?10?12?F??1.48pF?0S?0?r2??2
?C?d?Cd0，则当Δd=±10um时 由 0 如果考虑d1=0.3mm+10μm与d2=0.3mm﹣10μm之间的电容变化量ΔC′，则应为
ΔC′=2|ΔC|=2×0.049=0.098pF
(2) 当Δd=±1μm时
?d?10?10?3?C?C0?1.48???0.049pFd00.3
?C?由 Ku=100mV/pF=U0/ΔC，则
U0=KuΔC=100mV/pF×(±0.0049pF)=±0.49mV
4—5有一变间隙式差动电容传感器，其结构如习题图4-5所示。选用变压器交流电桥作测量电路。差动电容器参数：r=12mm；d1=d2=d0=0.6mm；空气介质，即ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：usr=u=Usr= 3sinωt (V)。试求当动极板上输入位移(向上位移) △x=0.05mm时，电桥输出端电压Usc?
?d?1?mC0??1.48pF??0.0049pFd00.3?103?m
?
解：由习题图4-5可求
初始电容
习题图4-5
C1=C2=C0=?S/d=?0?r2/d0
8.85?10?12???12?10?3?0.6?10?3
变压器输出电压
??2?6.67?10?12F?6.67pF
Usc?其中Z1 ,Z2 分别为差动电容传感器C1 ,C2 的阻抗.在ΔX< 且?C/C0=?d/d0，由此可得 ??Z2Z2?Z1?C1?C2???2U?U?U?UZ1?Z2Z1?Z2C1?C2 Usc??C??x?0.05?U?Usr??3sin?t?0.25sin?tC0d00.6(V) 4—6 如习题图4-6所示的一种变面积式差动电容传感器，选用二极管双厂网络测量电 路。差动电容器参数为：a=40mm，b=20mm，dl=d2=d0=1mm；起始时动极板处于中间位置，Cl=C2=C0，介质为空气，ε=ε0=8.85×10-12F/m。测量电路参数：D1、D2为理想二极管；及R1=R2=R=10KΩ；Rf=1MΩ，激励电压Ui=36V，变化频率f=1MHz。试求当动极板向右位移△x=10mm时，电桥输出端电压Usc? 习题图4-6 解：由习题图4-6可求 传感器初始电容 =3.54×10（F）=3.54pF 当动极板向右移Δx=10mm时，单个电容变化量为 a40?10?3?12???b8.85?10??20?10?30?S22C0?0??d0d01?10?3 ?12 ?x101C0?C0??3.54?1.77?pF?a/240/22 ?C?（或 8.85?10?12?20?10?3?10?10?3?c??x??1.77?10?12(F)?1.77pF?3d1?10 ） ?0b则 C1 = C0+ΔC，C2 = C0??C，由双T二极管网络知其输出电压 USC = 2 k Ui fΔC ?2 ?2.55?V? 4—7 一只电容位移传感器如习题图4-7所示，由四块置于空气中的平行平板组成。板A、C和D是固定极板；板B是活动极板，其厚度为t，它与固定极板的间距为d。B、C和D极板的长度均为a，A板的长度为2a，各板宽度为b。忽略板C和D的间隙及各板的边缘效应，试推导活动极板刀从中间位置移动x=±a/2时电容CAC和CAD的表达式(x=0时为对称位置)。 ?R?R?10?10?2?10??2?10?10?2?10?2f446462R?R?2Rf?RfUif?C6?36?106?1.77?10?12习题图4-7 解：参见习题图4-7知 CAC是CAB与CBC串联，CAD是CAB与CBD串联。 当动极板向左位移a/2时，完全与C极板相对（见题解4-7图），此时 CAB=CBC=ε0ab/d 则 CAC=CAB/2=CBC/2=ε0ab/2d； CAD=ε0ab/(2d+t)。 题解4-7图 同理，当动极板向右移a/2时，与上相仿（见题解4-7图），有 CAC =ε0ab/(2d+t)；CAD=ε0ab/2d 4—8 已知平板电容传感器极板间介质为空气，极板面积S=a×a=(2?2)cm2，间隙d0=0.1mm。求：传感器的初始电容值；若由于装配关系，使传感器极板一侧间隙d0，而另一侧间隙为d0+b(b=0.01mm)，此时传感器的电容值。 解：初始电容 当装配不平衡时（见题解4-8图(a)），可取其平均间隙计算（见题解4-8图(b)） d?(d0?b)bd?0?d0?22 =0.1+0.01/2=0.105(mm) 8.85?10?12?2?2?10?4C0???d0d00.1?10?3?35.4?10?12(F)?35.4pF ?S?0S则其电容为 =33.7×10(F)=33.7pF 8.85?10?12?2?2?10?4C??d-120.105?10?3 ?0S(a) (b) (c) 题解4-8图 或利用积分法计算传感器的电容，（见题解4-8图(c)），在位置x处，取宽度为dx、长度为a的两个狭窄长条之间的微电容为 dC??0adxd0?bx/a 所以，总电容为 两种计算方法结果接近，但积分法更为严密。 4-14 习题图4-14(a)所示差动式同心圆筒柱形电容传感器，其可动内电极圆筒外经d=9.8mm，固定电极外圆筒内经D=10mm，初始平衡时，上、下电容器电极覆盖长度L1=L2=L0=2mm，电极间为空气介质。试求： （1）初始状态时电容器C1、C2的值； （2）当将其接入习题图4-14(b)所示差动变压器电桥电路，供桥电压E=10 V（交流），若传感器工作时可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为多少？ ?b??C??dC??dx?ln?1???00d?bx/ab0?d0?8.85?10?12?(2?10?2)2?0.01??12?ln1??33.8?10(F)?33.8pF???30.1?0.01?10? Ca?0a?0a2(a) (b) 习题图4-14 解 （1）初始状态时 （2）当动电极筒位移?x= +0.2mm（向上）时，L1=2+0.2=2.2mm，L2=2?0.2=1.8mm，则 2??0L02???8.85?10?12?2?10?3C1?C2?C0??D10lnlnd9.8?12?5.51?10(F)?5.51pF 差动变压器电桥输出为 2??0L12???8.85?10?12?2.2?10?3C1???6.06?10?12(F)?6.06pFD10lnlnd9.8 2???8.85?10?12?1.8?10?3C2??4.96?10?12(F)?4.96pF10ln9.8 U?EC1?C2106.06?4.96????0.5(V)2C1?C226.06?4.96 同理，当动电极筒位移?x= ?0.2mm（向下）时，L1=2?0.2=1.8mm，L2=2+0.2=2.2mm，则 差动变压器电桥输出为 C1?4.96pF C2?6.06pF U?EC1?C2104.96?6.06?????0.5(V)2C1?C226.06?4.96 因此，当传感器可动电极筒最大位移?x= ?0.2mm，电桥输出电压的最大变化范围为 ?0.5V。 第5章 压电式传感器 5—3 有一压电晶体，其面积为20mm2，厚度为10mm，当受到压力p=10MPa作用时，求产生的电荷量及输出电压： (1)零度X切的纵向石英晶体； (2)利用纵向效应的BaTiO3。 解：由题意知，压电晶体受力为 F=pS=10×106×20×10-6=200(N) （1）0°X切割石英晶体，εr=4.5，d11=2.31×10?12C/N 等效电容 d =7.97×10 (F) 受力F产生电荷 Q=d11F=2.31×10?12×200=462×10?2(C)=462pC 输出电压 Q462?10?12Ua???5.796?103?V??14Ca7.97?10 Ca??0?rS8.85?10?12?4.5?20?10?6?10?10?3 ?14 （2）利用纵向效应的BaTiO3，εr=1900，d33=191×10?12C/N 等效电容 Ca??0?rS =33.6×10(F)=33.6(pF) 受力F产生电荷 Q=d33F=191×10?12×200=38200×10?12 (C)=3.82×10?8C 输出电压 8.85?10?12?1900?20?10?6?d10?10?3 -12 5—4 某压电晶体的电容为1000pF，kq=2.5C/cm，电缆电容CC=3000pF，示波器的输入阻抗为1MΩ和并联电容为50pF，求： (1)压电晶体的电压灵敏度足Ku； (2)测量系统的高频响应； (3)如系统允许的测量幅值误差为5％，可测最低频率是多少? (4)如频率为10Hz，允许误差为5％，用并联连接方式，电容值是多大? 解：（1） （2）高频（ω→∞）时，其响应 Q3.82?10?83?V?Ua???1.137?10?12Ca33.6?10 Ku?Kq/Ca?2.5C/cm?2.5?109V/cm1000pF kqUamd33Ku???FmCa?Cc?CiCa?Cc?Ci 2.5C/cm??6.17?108V/cm?12 ?1000?3000?50??10F （3）系统的谐振频率 ?n?1??1R?Ca?Cc?Ci?