16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是 0＜m＜3+4
．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．
【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．
【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，
又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，
则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．
∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，
∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4故答案为：0＜m＜3+4
三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．
（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列； （Ⅱ）若C=
，△ABC的面积为4
，求c．
．
．
＜m＜3+4
【考点】正弦定理．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；
c2=（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：（a+b）
2
﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．
【解答】（本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），
∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC， ∴sinA+sinB=2sinC，
∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列； （Ⅱ）∵C=∴ab=16，
∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab， ∵a+b=2c，
∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．
18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：
甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 20 39 40 40 20 41 10 42 10 ，△ABC的面积为4
=absinC=
ab，
乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 天数 38 10 39 20 40 20 41 40 42 10 （Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；
（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：
（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望； （ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，=【分析】（Ⅰ）可得P（M） ．
（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．
（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×
0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．
【解答】解：（Ⅰ） 记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M， 则P（M）=
=
．
（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a， 则当a=38时，X=38×5=190， 当a=39时，X=39×5=195， 当a=40时，X=40×5=200， 当a=41时，X=40×5+1×7=207， 当a=42时，X=40×5+2×7=214．
所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为： X P 190 195 200 207 214 ∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．
（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5． 所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元． 由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元． 因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．
19．D，E分别是B1C1、BC的中点，如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=
．
（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；
（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’
（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．
【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2， ∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=∵A1A=4，A1E=∴A1E2+AE2=
．
，∴AE⊥A1E，
，
∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC， ∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．
解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系． 易知A1（0，0，A（0，
），B（
，0，0），C（﹣，
），B1（
，0，0），
，
），
，0），D（0，﹣，﹣
设平面A1BD的法向量为=（x，y，z）， 由
，可取
．
设平面B1BD的法向量为=（x，y，z）， 由cos＜
＞=
，可取．
又∵该二面角为钝角，
∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．
20．已知椭圆E：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线
?
为定值．
重合，椭圆E的离心率为
l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且（Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）求△OAB面积的最大值．
【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．
【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由y2|=
即可求得最值
【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），
∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，
?
为定值，解得m，|AB|=
，△OAB面积s=
整|y1﹣
，点O到直线AB的距离d=