又椭圆E的离心率为，得a=
，于是有b2=a2﹣c2=1． ．
故椭圆Γ的标准方程为：
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m， 由
整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0
，
，
==
（
=t2+1
）
y1y2+
（
tm﹣t．
）（
y1+y2
）
+m2
﹣
要使?为定值，则，解得m=1或m=（舍）
当m=1时，|AB|=
|y1﹣y2|=
，
点O到直线AB的距离d=，
△OAB面积s==．
∴当t=0，△OAB面积的最大值为
，
21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．
（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）设g（x）=f（x）+
，若g（x）有极大值点x1，求证：
＞a．
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=a的范围即可；
在（0，+∞）上有解，求出
（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣
﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0， 因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线， 所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解， 即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解， 也即x=所以
在（0，+∞）上有解， ＞0，得a＞，
故所求实数a的取值范围是（，+∞）；
（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax， 因为g′（x）=
，
①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，
②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2， 因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2， 又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1， 所以g′（x1）=x12﹣2ax1+
=0，则a=
，
要证明 +
＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，
因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣
+1=﹣
﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，
令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），
所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），
则P′（x）=﹣3x+=当0＜x＜
，
＜x＜1时，p′（x）＜0， ＜0，所以h′（x）＜0，
时，p′（x）＞0，当
）=﹣1+ln
所以p（x）max=p（
所以h（x）在（0，1）上单调递减， 所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原
点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ． （Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程； （Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．
+
的值．
（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，
得，结合根与系数的关系进行解答．
【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普
通方程为x+y﹣7=0．
又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9； （Ⅱ）把直线l的参数方程
（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，
得，
设t1，t2是上述方程的两实数根， 所以t1+t2=4
，t1t2=7，
∴t1＞0，t2＞0， 所以
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|． （Ⅰ）解不等式f（x）＞5； （Ⅱ）若关于x的方程
=a的解集为空集，求实数a的取值范围．
+
=
．
【考点】绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．
（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出
的取值范围．再根据关于x的方程
=a的解集为空集，
求得实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5， x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2； ﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，
x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣， 故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，
故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞）， 从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞）， 进而
的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．
=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，
根据已知关于x的方程
0]．
2018年4月15日