F作用于轻滑轮，设滑轮和绳的质量以及滑轮轴处摩擦可以忽略，绳子不可伸长，求F=394N时，物体A和B的加速度aA?0.05m/s2,aB?9.9m/s2。（提示：在不计滑轮质量时，
滑轮两边绳子的张力相等，取g?9.8m/s）
2. 一小车沿半径为R的弯道作圆周运动，运动方程为s?3?2t(SI)，设小车的质量为m，
2216mt2则小车所受的向心力为Fn?。
R3. 质量为2kg的物体，在外力F?2.0t?4.0(N)的作用下，沿ox轴做直线运动。设在t?0时，物体的速度为3m/s，则此后该物体在任意时刻的速度为
12t?2t?3。 24. 质量m为10kg的木箱放在地面上，在水平拉力F的作用下由静止开始沿直线运动，其拉力随时间的变化关系如图5所示。若已知木箱与地面间的摩擦系数μ为0.2，那么在t=4s时，木箱的速度大小为 4m/s ；在t=7s时，木箱的速度大小为2.5 m/s 。( g=10 m/s)。
三. 计算题
1. 如图6，细绳跨过一定滑轮，一边悬有一质量为m1的物体，另一边穿在质量为m2的圆柱体的竖直细孔中，圆柱可沿绳子滑动,今看到绳子从圆柱细孔中加速上升，柱体相对于绳子以匀加速度a?下滑，求m1，m2相对于地面的加速度(绳轻且不可伸长，滑轮的质量、摩擦不计) 。
解：m1g?T?ma1
图52
T?m2g?m2(a1?a?)
(m1?m2)g?(m1?m2)a1?m2a? a1?(m1?m2)g?m2a? 向下
m1?m2图6
a2?a1?a??(m1?m2)g?m1a? 向上
m1?m22. 一根匀质链条，质量为m，总长度为L，一部分放在光滑桌面上，另一部分从桌面边缘下垂，长度为a，试求当链条下滑全部离开桌面时，它的速率为多少？(用牛二定律求解)。 解：选取向下为坐标正方向，将整个链条视为一个系统，当链条下落距离x时，写出牛顿运动方程
mdvmdvxg?m， xg?mv， LdtLdx 6
gxdx?vdv， LL?agxdx??vdv L0g(L2?a2)/L
v当链条下滑全部离开桌面时，它的速率为v?3. 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力f与速度反向，大小与速度大小成正比，比例系数为k，即f??kv。忽略子弹的重力，求: (1)子弹射入沙土后，速度的大小随时间变化的函数式； (2)子弹进入沙土的最大深度。 解：根据题意，阻力f??kv，写出子弹的运动微分方程：
?tdvf??kv?m，应用初始条件得到：v?v0em
dtdvdv从?kv?m变换得到：?kv?mv，?kds?mdv，
dtdsk应用初始条件，两边积分得到
s?mm(v0?v)，当子弹停止运动：v?0，所以子弹进入沙土的最大深度：xmax?v0
kk*4．设空气对炮弹的阻力与炮弹的速度成正比，即f??kv，k为比例系数。设炮弹的质量为m、初速为v0、发射角为?，求炮弹运动的轨迹方程。 解： 取如图所示的平面坐标系Oxy，由牛顿定律有：
y
dvmax?mx??kvxdtdvymay?m??mg?kvydtdvxk??dtvxm?v0??oFr?Pk??dtmg?kvymv0y?v0sin?kdvyxt?0v0x?v0cos?vx?v0cos?e?kt/mvy?(v0sin??dy?vydtmg?kt/mmg)e?kkdx?vxdtx?m(v0cos?)(1?e?kt/m)ky?mmgmg(v0sin??)(1?e?kt/m)?tkkkmgm2gky?(tan??)x?2ln(1?x)kv0cos?kmv0cos?此即为炮弹的轨迹方程！
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第三章 刚体与流体的运动
练 习 一
一. 选择题
1. 有两个半径相同,质量相等的细圆环A和B,A环的质量分布均匀, B环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为JA和JB, 则（ C ）
(A) JA>JB； (B) JA (A) 必然增大； (B) 必然减少； (C) 不会改变； (D) 如何变化,不能确定。 3. 将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，如果在绳端挂一质量为m的重物时，飞轮的角加速度为?1. 如果以拉力 F · O 图1 ? F F?2mg代替重物拉绳时, 飞轮的角加速度? 将（ C ） (A) ?2?1； (D) =2?1。 4. 已知有两个力作用在一个有固定轴的刚体上。在下述说法中,正确的应该是（ A ） (A) 两个力都平行于固定轴时,它们对轴的合力矩一定是零； (B) 两个力都垂直于固定轴时,它们对轴的合力矩一定是零； (C) 两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定是零； (D) 当两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定是零。 二. 填空题 1. 半径为r = 1.5m的飞轮作匀变速转动,初角速度? 0=10rad/s,角加速度???5rad/s, 则在t? 4s 时角位移为零,而此时边缘上任意一点的线速度v? 15m/s 。 2. 半径为20cm的主动轮,通过皮带拖动半径为50cm的被动轮转动,皮带与轮之间无相对滑动, 主动轮从静止开始作匀角加速转动。 在4s内被动轮的角速度达到8? rad/s,则主动轮在这段时间内转过了 20 圈。 3. 一长为l的质量为m的均质细杆,两端分别固定质量为m和2m的小球,若此系统以过中点O且与杆垂直的轴转动,其转动惯量为J? 5ml/6 。若此系统以距离小球m所在 2 21l处、且与杆垂直的轴转动,其转动惯量为J?? 4ml2/3 。 44. 如图3所示，一个半径为R，质量面密度为?的薄板圆盘上开了 一端 8 一个半径为1/2 R的圆孔，圆孔与盘缘相切。圆盘对于通过原中心而与圆盘垂直的轴的转动惯量J?13??R4/32。 三. 计算题 1. 汽车发动机的转速在7.0s内由2000r/min均匀增加到3000r/min。求:（1）角加速度；（2）这段时间转过的角度；（3）发动机轴上半径为0.2m的飞轮边缘上的任一点在第 7.0s末的加速度。 解：（1）初角速度为?0?2??2000/60?209rad/s 末角速度为??2??3000/60?314rad/s 角加速度为?????0t?314?209?15rad/s2 7.0t?209?314?7?1.83?103rad 2（2）转过的角度为???0??22（3）切向加速度为at??R?15?0.2?3m/s 2242法向加速度为an??R?314?0.2?1.97?10m/s 总加速度为a?2at2?an?1.97?104m/s2 an1.97?104总加速度与切向的夹角为??arctan?arctan?89?99? at32. 电风扇在开启电源后,经过t1时间达到了额定转速,此时相应的角速度为? 0。 当关闭电源后, 经过t2时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为J, 并假定摩擦阻力矩Mf和电机的电磁力矩MF均为常量,试根据已知量推算电机的电磁力矩MF的大小。 解：设Mf为阻力矩，MO为电磁力矩， 开启电源时有 MO?Mf?J?1 , ?0??1t1 关闭电源时有 Mf?J?2 , ?0??2t2 MO?J?0(11?) t1t23. 飞轮的质量为60kg，直径为0.50m，转速为1000r／min，现要求在 5s内使其制动，求制动力F的大小。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数μ= 0.4，飞轮的质量全部分布在轮的外周上，尺寸如图4所示。 222解：J?mR?60?(0.25)?3.75kg?m 100 t?0,?0?2?n?2???104.7r/s 60.5m F 0.75m 闸瓦 9 d 图4 ω t?5,??0,?????0t?0?104??20.9r/s2 5F(l1?l2)?Nl1?0,fR?J???NR, 于是有N? l1J?J??314N ， F?l1?l2?R?R第三章 刚体与流体的运动 练 习 二 一. 选择题 1. 均匀细棒OA可绕过其一端O且与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图1，今使棒从水平位置由静止开始自由下摆，在摆动到竖立位置的过程中，下述说法中正确的是（ A ） (A) 角速度从小到大，角加速度从大到小； (B) 角速度从小到大，角加速度从小到大； (C) 角速度从大到小，角加速度从大到小； (D) 角速度从大到小，角加速度从小到大。 2. 刚体角动量守恒的充分而必要的条件是（ B ） (A) 刚体不受外力矩的作用； (B) 刚体所受合外力矩为零； (C) 刚体所受的合外力和合外力矩均为零； (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变。 3. 花样滑冰运动员可绕过自身的竖直轴转动，开始时双臂伸开，转动惯量为J0,角速度为 图1 O A 1?0。当她将双臂收回时，其转动惯量减少到J0,此时其的角速度变为（ C ） 3(A) ?03； (B) ?02； (C)3? 0 ； (D) 3? 0。 4. 如图2示,一静止的均匀细棒,长为L、质量为M, 可绕通过棒的端点且垂直于棒的光滑固定轴O在水平面内转动, 转动惯量为Ml/3。一质量为m、速率为v的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端,设穿过棒后子弹的速率为v/2,则此时棒的角速度应为（ B ） (A) mv/Ml； (B) 3mv/(2Ml)； (C) 5mv/(3Ml)； (D) 7mv/(4Ml)。 二. 填空题 1. 在光滑的水平面上，一根长L=2m的绳子，一端固定于O点，另一端系一质量为m?0.5kg的物体，开始时，物体位于位置A，OA间距离d?0.5m,绳子处于松弛状态。现在使物体以初速度v1?4m/s垂直于OA向右滑 10 2俯视图 O · v/2 v 图2