???1??由于pm与B垂直，故：M?Pm?B??R2QB
42. 如图5所示，水平面内有一圆形导体轨道，匀强磁场B的方向与水平面垂直，一金属杆OM（质量为m）可在轨道上绕O运转，轨道半径为a。若金属杆与轨道的摩擦力正比于M点的速度，比例系数为k，试求（1）若保持回路中的电流不变，开始时金属杆处于静止，则t时刻金属杆的角速度?等于多少？(2)为使金属杆不动，在M点应加多大的切向力。 解：由转动定律得：
a安培力矩 MA??IdlBl?01BIa2 2B ? M 摩擦力矩 转动定律
Mf?KV?aK?a2
12d?1?BIa2?K?a2 J??ma3dt2O ? R 图5
解得 ??BI(1?e?3kt/m) 2K1BIa 2? F?MA/a?3. 一根无限长同轴电缆由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成，中间充满磁导率为?的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图6，传导电流I沿导线向右流去，由圆筒向左流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴线内外磁感应强度大小的分布。
??解：根据?H?dl??I可得：H?2?r??I
IIr当r?R1时，H?2?r?2?r2?H1??R12?R12当R1?r?R2时，H?2?r?I?H2?当R2?r?R3时，H?2?r?I?I(R32?r2)?H3?22?r(R32?R2)I2?rRI RR?IrB1?022?R1?IB2?02?r图6
I22?(r?R)222?(R3?R2)?0I(R32?r2)B3?22?r(R32?R2)B4?0当r?R3时，H?2?r?0?H4?0*4. 图7所示是一根外半径为R1的无限长圆柱形导体的横截面，管内空心部分的半径为R2 ，空心部分的轴与圆柱的轴相平行但不重合，两轴间的距离为a，电流I沿导体管流动，且均匀分布在管的横截面上，试证明管内空心部分的磁场为均匀磁场。 证明： 利用割补法，将管内空心部分看成同时通有相反方向的电
流，且电流密度相同，则空间任一点的磁场可看成是这两个电流的磁场
?? ?的迭加。设电流密度大小为j，方向为k，j?jk 在空心部分中任取一点P,P点相对于O点的矢径为r，P点相对
21
I O? ⊙ · · O ?图7
于O?点的矢径为r?,O?点相对于O点的矢径为a，即a?r?r?。
由安培环路定理可得：大圆柱体的电流在P点产生的磁感应强度为：
???????j???r B1?0?k2同理可得小圆柱体（空心部分）的电流在P点产生的磁感应强度为：
??j??B2??0?k?r?
2????0j????0j????B?B1?B2?k?(r?r)?k?a?C 证毕
22
第五章 气体动理论
练 习 一
一. 选择题
1. 一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为p1和p2，则两者的大小关系是（ ）
(A) p1?p2； (B) p1?p2； (C) p1?p2； (D) 不确定的。
2. 一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T，气体分子的质量为m. 根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x方向的分量平方的平均值为（ ）
22(A) vx=3kTm； (B) vx= (1/3)3kTm ； 22(C) vx= 3kT /m； (D) vx= kT/m。
3. 一瓶氦气和一瓶氮气分子数密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡状态，则它们（ ）
（A）温度相同、压强相同；(B)温度、压强都不同；(C) 温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强；(D) 温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强 二．填空题
1. 在容积为10?m的容器中，装有质量100g的气体，若气体分子的方均根速率为200m/s，
23
则气体的压强为 。
2. 设M为气体的质量，m为气体分子质量，p为气体的压强，V为气体的体积，则气体分子的平均平动动能为 。
3.分子物理学是研究 的学科, 它应用的方法是 方法。
4. 若理想气体的体积为V，压强为p，温度为T，一个分子的质量为m，k为玻耳兹曼常量，R为普适气体常量，则该理想气体的分子数为 。
22
三. 计算题
1. 就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.9?10-3kg/ mol ，试计算1mol空气在标准状态下的内能。
2. 一瓶氢气和一瓶氧气温度相同。若氢气分子的平均平动动能为6.21×10氧气分子的平均平动动能和方均根速率; (2) 氧气的温度。
3. 有20个质点，其速率分布如下：2个具有速率v0，3个具有速率2 v0，5个具有速率3 v0，4个具有速率4 v0，3个具有速率5 v0，2个具有速率6 v0，1个具有速率7 v0，试计算其： （1）平均速率；（2）方均根速率；（3）最概然速率。
23
－21
J。试求: (1)
第五章 气体动理论
练 习 二
一. 选择题
1. 两容器内分别盛有氢气和氦气，若它们的温度和质量分别相等，则（ ） (A) 两种气体分子的平均平动动能相等； (B) 两种气体分子的平均动能相等； (C) 两种气体分子的平均速率相等； (D) 两种气体的内能相等。
2. 麦克斯韦速率分布曲线如图1所示，如果图中A、B两部分面积相等，则该图表示（ ） (A) v0为最可几速率； (B) v0为平均速率； (C) v0为方均根速率；
(D) 速率大于和小于v0的分子数各占一半。
3. 气缸内盛有一定量的氢气(可视作理想气体)，当温度不变而压强增大一倍时，氢气分子的平均碰撞次数Z和平均自由程?的变化情况是（ ） (A) Z和?都增大一倍； (B) Z和?都减为原来的一半； (C) Z增大一倍而?减为原来的一半； (D) Z减为原来的一半而?增大一倍。 二. 填空题
4
1. 若某种理想气体分子的方根速率v2=450m/s,气体压强为P=7×10Pa ，则该气体的密
f(v) A O B v0 图1
v 度为?= 。
24
2. 对于处在平衡态下温度为T的理想气体,
kT(k为玻尔兹曼常量)的物理意义2是 。
3. 一容器内装有N1个单原子理想气体分子和N2个刚性双原子理想气体分子，当该系统处在温度为T的平衡态时，其内能为 。
4. 一容器贮有某种理想气体，其分子平均自由程为?0，当气体的热力学温度降到原来的一半，但体积不变，分子作用球半径不变，则此时平均自由程为 。 三. 计算题
1. 容器中储有压强为1atm，温度为30℃的氧气。试求:（1）方均根速率；（2）单位体积中的内能。
v0?v?0?C 2. 假定N个粒子的速率分布函数为：f(v)??
0 v?v0?(1)定出常数C； (2)求粒子的平均速率。
*3. 导体中自由电子的运动类似于气体分子的运动。设导体中共有N个自由电子，电子气中电子速率vF叫做费米速率，电子在v和v+dv之间的概率为
?4πv2Adv?dN??NN?0?
25
(vF?v?0)(v?vF)