12．已知f(x)是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数，若f(lgx)>f(1)，则x的取值范围是( ) 1
A．(10，1) 1
C．(10，10)
1
B．(0，10)∪(1，＋∞)
D．(0,1)∪(0，＋∞)
解析：由于f(x)是偶函数且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－1)＝f(1)，且f(x)在(－∞，
?x>0，1
0)上是增函数，应有?解得10 ?－1 答案：C 第Ⅱ卷(非选择题，共90分) 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的反函数的图象过点(2，－1)，则a＝________. 1 解析：由互为反函数关系知，f(x)过点(－1,2)，代入得a－1＝2?a＝2. 1答案：2 14．方程log2(x－1)＝2－log2(x＋1)的解为________． 解析：log2(x－1)＝2－log2(x＋1)?log2(x－1)＝log2值舍去)，∴x＝5. 答案：5 1 15．设函数f1(x)＝x2，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2007)))＝________. －－1－ 解析：f1(f2(f3(2007)))＝f1(f2(20072))＝f1((20072)1)＝[(20072)1]2＝20071. 44，即x－1＝，解得x＝±5(负x＋1x＋1 1 答案：2007 1 16．设0≤x≤2，则函数y＝4x－2－3·2x＋5的最大值是________，最小值是________． 1x111解析：设2x＝t(1≤t≤4)，则y＝2·4－3·2x＋5＝2t2－3t＋5＝2(t－3)2＋2. 11 1115 当t＝3时，ymin＝2；当t＝1时，ymax＝2×4＋2＝2. 51答案：2 2 三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．(10分)已知a＝(2＋3)－1，b＝(2－3)－1，求(a＋1)－2＋(b＋1)－2的值． 解：(a＋1) －2 ＋(b＋1) －2 3＋3－23－3－2111－2－2 ＝(＋1)＋(＋1)＝()＋()＝62＋32－32＋32－3 7＋437－43112 (＋)＝6[(7＋43)(2－3)＋(7－43)(2＋3)]＝6×4＝3. 2＋32－3 18．(12分)已知关于x的方程4x·a－(8＋2)·2x＋42＝0有一个根为2，求a的值和方程其余的根． 解：将x＝2代入方程中， 得42·a－(8＋2)·22＋42＝0，解得a＝2. 当a＝2时，原方程为 4x·2－(8＋2)2x＋42＝0， 将此方程变形化为2·(2x)2－(8＋2)·2x＋42＝0. 令2x＝y，得2y2－(8＋2)y＋42＝0. 2解得y＝4或y＝2. 当y＝4时，即2x＝4，解得x＝2； 221 当y＝2时，2x＝2，解得x＝－2. 1 综上，a＝2，方程其余的根为－2. 2x－1 19．(12分)已知f(x)＝x，证明：f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数． 2＋1证明：设任意x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1 12 2x1－12x2－1?2x1－1??2x2＋1?－?2x2－1??2x1＋1?2x1－2x2－?2x2－2x1? f(x1)－f(x2)＝－＝＝ 2x1＋12x2＋1?2x1＋1??2x2＋1??2x1＋1??2x2＋1? 2?2x1－2x2?＝.∵x1 1 20．(12分)已知偶函数f(x)在x∈[0，＋∞)上是增函数，且f(2)＝0，求不等式f(logax)>0(a>0，且a≠1)的解集． 1 解：f(x)是偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上递增，f(2)＝0， 111 ∴f(x)在(－∞，0)上递减，f(－2)＝0，则有logax>2，或logax<－2. 11a (1)当a>1时，logax>2，或logax<－2，可得x>a，或0 综上可知，当a>1时，f(logax)>0的解集为(0，a)∪(a，＋∞)； a 当00的解集为(0，a)∪(a，＋∞)． 21．(12分)已知函数f(x)对一切实数x，y都满足f(x＋y)＝f(y)＋(x＋2y＋1)x，且f(1)＝0， (1)求f(0)的值； (2)求f(x)的解析式； 1 (3)当x∈[0，2]时，f(x)＋3<2x＋a恒成立，求a的范围． 解：(1)令x＝1，y＝0，则f(1)＝f(0)＋(1＋1)×1，∴f(0)＝f(1)－2＝－2. (2)令y＝0，则f(x)＝f(0)＋(x＋1)x，∴f(x)＝x2＋x－2. 1 (3)由f(x)＋3<2x＋a，得a>x2－x＋1.设y＝x2－x＋1，则y＝x2－x＋1在(－∞，2]上是减13 函数，所以y＝x2－x＋1在[0，2]上的范围为4≤y≤1，从而可得a>1. a 22．(12分)设函数f(x)＝loga(1－x)，其中0 13 (1)求证：f(x)是(a，＋∞)上的减函数； (2)解不等式f(x)>1. aa 解：(1)证明：设任意x1，x2∈(a，＋∞)且x1 1 2 aaaaaa ?x2－x1?1－x1－x＋x－x ax1－ax21221 1＋＝loga＝log＝log＝log(1＋)＝loga[1＋aa?aa?aax1x2－ax1 1－x1－x?1－x2?22 a?x1－x2?a?x1－x2? ]．∵x1，x2∈(a，＋∞)且x1 x1?x2－a?x1?x2－a?a?x1－x2?a?x1－x2?a＋<1，又∵00，∴f(x1)>f(x2)，所以f(x)＝loga(1－x)在(a，x1?x2－a?x1?x2－a?＋∞)上为减函数． a1－??x>0，①a (2)因为01?loga(1－x)>logaa??a ??1－x 解不等式①，得x>a或 aaa .因为0 14 第三章综合练习 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．二次函数f(x)＝2x2＋bx－3(b∈R)的零点个数是( ) A．0 C．2 B．1 D．4 解析：∵Δ＝b2＋4×2×3＝b2＋24>0， ∴函数图象与x轴有两个不同的交点，从而函数有2个零点． 答案：C 1 2．函数y＝1＋x的零点是( ) A．(－1,0) C．1 B．－1 D．0 1 解析：令1＋x＝0，得x＝－1，即为函数零点． 答案：B 3．下列给出的四个函数f(x)的图象中能使函数y＝f(x)－1没有零点的是( ) 解析：把y＝f(x)的图象向下平移1个单位后，只有C图中图象与x轴无交点． 答案：C 4．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值( ) A．大于0 B．小于0 D．等于零 C．无法判断 解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部． 15