2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承 诺 书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）： 西南交通大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 黄云霞 2. 杨佳佳 3. 董 月 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 王璐
日期：2007 年 9 月 24 日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编 号 专 用 页
评 阅 人 评 分 备 注 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
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全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
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中国人口增长预测模型
摘 要
本文从机理建模和数据统计建模的角度，结合灰色理论、数理统计和差分方程模型等理论对中国人口中短期及长期增长趋势进行定量分析预测。
人口预测模型是一个复杂的经济系统模型，它要受到诸如生育率、死亡率等因素的影响。所以本文首先在对样本数据预处理后，分析了中国人口变动的基本趋势。主要结果为老龄化程度、人口城镇化等指标缓慢递增，生育率和死亡率等因素短期变动不显著。这说明了人口指标会对人口数量产生中短期和长期的不同影响，所以分别建立不同时间长度的预测模型是适宜的。
预测中短期人口增长时，由于总人口表现出稳定的递增趋势，故引入灰色GM(1,1)模型来描述中短期人口变动，结果表示到2015年中国人口缓慢线性递增至13.7亿。但考虑到GM(1,1)不能深刻揭示老龄化等因素对人口的影响，于是建立了多元线性模型来反映人口各类指标与人口总数变动的关系，其中利用复相关系数对人口指标进行动态筛选以避免“伪回归”问题，最后得到了人口与老龄化呈正比等有益结论。
长期预测中，根据转移率的不同分别构建了单区域和多区域的离散动态差分模型。单区域模型以生育率和生存率两个核心指标为基础，建立了分年龄段的人口转移差分方程，主要结果是人口峰值在2030年达到14.8亿，其后人口数量缓慢下降趋于稳定。而多区域模型中，加入转移率指标后，建立了城镇和农村分年龄段的转移动态差分模型，并用统计出的妇女生育率、妇女存活率和转移率的依年龄分布来刻画差分方程中的参数。结果显示城镇人口一直处于增长状态，而农村人口却一直减少，同时两者的预测值之和和单区域模型估计值基本一致。
本文利用SPSS和MATLAB等软件，结合我国中短期和长期预测的不同特点，建立了适当的人口发展预测模型。不仅预测结果同中国实际人口变化趋势相同，还解释分析了人口变动的影响因素。同时，基于差分模型的单、多区域模型能从机理角度较好解释人口变动情况，其中利用依年龄分布来估计差分模型参数也有一定的新意。
关键词：多元线性回归，灰色模型，差分方程，单区域和多区域差分模型
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一、问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
二、基本假设
1．在人口增长的过程中，不考虑意外灾害等因素的影响；
2．对原始数据中不合理数据的处理不会对人口预测造成实质的影响； 3．抽样调查样本中每个人是近似独立的，相互之间的影响忽略不计； 4．国家政治、经济等宏观因素在预测时期内处于稳定状态； 5．考虑死亡率、生育率等这些因素对人口增长的影响； 6．不考虑我国和其他国家之间的人口迁移。
三、符号说明
X1----老龄化程度； X2----死亡率；
X3----时间序列；
X4----乡村人口比例；
Y-----当年人口数； ?0-----回归常数；
?i-----影响人口增长的第i个因素的回归系数；
Pi-----女性比率 Pi (i?1,2,3，分别表示市、镇、乡)；
ni--------总人口数ni(i?1,2,3分别表示市、镇、乡)； a------发展灰度；
u------内生控制灰度。
di(k)---第
tk时段中第i年龄组妇女生育率为di(k)；
pi(k)---第tk时段中第i年龄组妇女人口存活率为pi(k)； Si(k)---第tk时段中第i年龄组妇女人口基数为Si(k)； fi(k)---第tk时段中第i年龄组妇女总人口为fi(k)；
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?i(k)---第tk时段中第i年龄组出生人口性别比为?i(k)
dij(k)---第pij(k)---第Sij(k)---第
j区域在时段tk中的第i年龄组妇女生育率为dij(k)； j区域在时段tk中的第i年龄组妇女人口存活率为pij(k)； j区域
rtrtrr
(0.1)
(0.2)t t errerrt rtsrggg
在时段tk中的第i年龄组妇女人口基数为Sij(k)；
fij(k)---第fij(k)---第qij(k)---第
j区域在时段tk中的第i年龄组妇女总人口为fij(k)； j区域在时段tk中的第i年龄组出生人口性别比?ij(k)； j区域在时段tk中的第i年龄组妇女人口迁移率qij(k)
四、问题分析
1．影响人口增长的主要因素
人口的增长从广义上讲受到内部环境和外部环境的共同影响，其中内部环境主要是单个个体自身的因素，包括个人的身体健康状况、饮食习惯等诸多因素；外环境主要是指社会环境，包括社会经济，政治，军事和人口政策等方面的影响。而在此问题中我们从宏观角度讨论影响中国人口增长因素，包括年份、自然增长率（定义为出生率-死亡率）、乡村人口比例（乡村人口比例的变化很大程度上反映了乡村人口城镇化的发展趋势）、老龄化程度（定义为年龄大于65岁的人口占总人口的比例）、出生人口性别比例（女孩数为100时的男孩数）、迁移率和妇女生育率等因素。由于不同因素对人口增长的影响程度不同，因此分析前需要对这些因素进行部分的筛选，可通过散点矩阵图的方法找出和人口紧密相关的因素，再在此基础上进一步讨论这些因素对人口增长的影响。
2．不同预测类型模型的理解
本文要求对中短期和长期人口趋势进行预测。由于人口的增长是一个涉及多个因素的复杂问题，同时随时间、地点的不同而不同，并且具有很强的时间性差异和区域性差异。在此问题中要求分别对中国人口的中短期和长期增长情况进行分析和预测，因为不同模型对不同时间段的预测精度不同，所以中短期和长期人口的增长预测应该选用不同的模型，具体而言：
（1）中短期预测模型：针对原始样本容量较小，并且人口增长具有动态变
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