化的特点，可以考虑用灰色预测模型对人口的增长进行预测，但因为灰色预测模型只考虑人口随时间的变化，而没有涉及其他因素的影响，所以此问题还采用了对短期预测精度好的回归模型。又由于在短时期内影响人口增长的因素不会出现较大的波动，因此采用多元线性回归模型综合考虑中短时期人口增长情况。最后再对这两类模型进行比较，得到中短期人口增长的最佳预测模型。
（2）长期预测模型：长期人口的增长和育龄妇女的比例、妇女的生育率以及转移率等因素紧密相关，从这个角度出发，我们利用差分方程的思想，分别建立单区域长期趋势模型和多区域长期趋势模型。在单区域模型中，对年龄进行合理分段，利用各年龄段育龄妇女的生育率和各年龄段妇女的存活率讨论女性人口随时间的增长趋势进而得到总人口的增长趋势；但由于这种方法没有考虑人口的迁入迁出情况，所以紧接着我们建立了包含人口转移率的多区域长期预测模型。
3.本问题的基本建模思路框架图
人口预测模型 影响因素分析 长期预测 中短期预测 老龄化程度 出生 人口性别比 人口城镇化 妇女生育率 死亡率 单 区域 预测 模型 多 区域 预测 模型 灰色 预测 模型 多元 线性 回归 模型
五、模型建立与求解
5.1中国人口发展趋势的基本分析
由于本问题要建立中国人口增长模型，所以首先需要利用数据研究中国人口发展的基本趋势及影响因素。结合人口模型及查看其他相关资料，生育率、老龄化、出生人口性别、以及城镇化等因素都会直接影响着中国人口的增长快慢，为此我们将着重对以下几个影响因素进行统计分析：
1) 老龄化程度
国家有关资料指出人口老龄化是指人口中老年人比重日益上升的现象，通过查阅相关文献，本文定义老龄化指标为人口中65岁及以上老年人口占总人口的比重，其公式可表示为：
6
老龄化程度?65岁以上人口数总人口数?100%
我们对附表中65岁及以上老年人口进行统计，按公式计算得到2001年到2005年人口老龄化比率，其描述性统计特征和发展趋势图（见图5.1-1）。从图中可以看出，2001年到2005年中国人口老龄化程度是逐步缓慢上升的，到2005年已达到9.05%。这说明如不采取适当的措施，中国人口将持续老龄化。
10.00%8.00%7.54%8.25%8.57%9.05%7.93%比例6.00%4.00%2.00%0.00 0120022003年份65岁以上人口比例20042005
图5.1-1老龄化人口比例（65岁以上）
2) 出生人口性别比分析
出生人口性别比是指活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示，比值越高说明当年出生的男婴越多，反之亦然。其计算公式可表示为：
出生人口性别比（女100计）?活产男婴数活产女婴数?100
我们对附表中每年出生的男婴女婴进行统计，按公式计算得到2001年到2005年男女出生性别比率及发展趋势（见图5.1-2）。从图中看到，中国男女出生性别比逐年递增，并超过了国际男女比例预警线（04年数据的异常可能是由于抽样调查的误差造成的）。
12412212011811611411211020012002200320042005114.6114.26117.49118.54122.25男女出生性别比（女100计）
图5.1-2男
7
3) 人口城镇化分析
城镇化水平一般用城镇化率来表示。城镇化率是指一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分比。其计算公式可表示为：
城镇人口比率?城镇人口总人口?100%
这里我们绘制出2001年到2005年男女出生性别比率（见图5.1-2）。从图中可以看出，中国人口城镇化程呈现缓慢增长趋势，说明乡村人口正逐步向城镇转移，到2005年，城镇化水平已经达到44.84%。
50.00@.000.00 .00.00%0.00 0120022003城镇化率2004200537.178.71A.24A.18D.84%
图5.1-3城镇人口比率示意图
4) 妇女生育率分析
总和生育率是一定时期（如某一年）各年龄组妇女生育率的合计数，它说明每名妇女按照某一年的各年龄组生育率度过育龄期，平均可能生育的子女数，是衡量生育水平最常用的指标之一。我们这里分别统计出2001-2005年市、镇、乡妇女总和生育率（见图5.1-4），其计算公式可表示为：
妇女生育率?出生人口数育龄妇女数?100%
图5.1-4市、镇和乡妇女生育率示意图
从上图可以看出，市、镇、乡妇女生育率基本上在一定范围内波动，且波动性不大，表示全国总和生育率短期内基本上保持稳定。
8
5) 死亡率分析
死亡率定义是指一国或一地区在一定时期(通常为一年)内死亡人数与同期平均人口数的比值。2001-2005年死亡率情况见图5.1-5。
一般按每千人平均计算。其计算公式为：
死亡率（000）?年内死亡人数年人口总数?1000000
图5.1-5人口死亡率示意图
从图中可以看出，2001年到2005年全国人口死亡率先降后生，但波动性不大，平均死亡率为6.434?。
5.2 中短期人口增长预测模型
5.2.1 数据的预处理
在实际生活中，统计误差和失误是难免的，因此需要对所给数据进行统计前的必要处理。观察附件中的原始数据后发现数据存在缺失和错误的现象，于是对这些数据进行如下处理：
(1) 缺失数据：利用数据插值或外推的方式修补； (2) 错误数据：首先绘制散点图观测其数据变动情况，对异常点利用3?法
则进行确认诊断，同时也可结合官方统计年鉴进行修正。例如本问题中2003年中妇女生育率与其他各个年份数据明显相差一个数量级，因此参照统计年鉴的数据将原始数据中2003年的妇女生育率扩大10倍后再进行统计；
(3) 其他数据：对文中需要用到的一些关键数据，可通过查阅统计年鉴获
取。
对于中短期人口增长预测，需要精度较高的模型。对中国人口2001—2005年数据进行初步分析可以看到，人口数量逐年稳步递增，呈现较强的线性增长趋势，所以我们这里引入灰色模型来描述这种人口变化特点。然而，灰色模型不能描述出生性别比等因素对人口变化的短期行为，所以，我们又建立了多元线性回归模型对短期人口进行预测，从而实现了对不同区域、不同性别等人群的变化影响分析。
9
5.2.2人口增长的灰色预测模型 1． 模型建立
灰色预测模型是用灰色理论对现实和动态问题的分析预测，这种方法具有精度高、所需样本数据少、计算简便、可检验等优点，适合对小样本数据进行预测，我们首先采用灰色预测模型对总的人口增长进行预测。
考虑到人口增长的变化规律是一个不确定的系统，且本题给出的只有五年的数据，所以采用灰色预测模型对总的人口增长趋势进行预测。
2． 模型求解
灰色预测方法的基本思想是：根据系统的普遍发展规律，建立一般的灰色微分方程，然后通过对数据序列的拟合，求得微分方程的系数，从而获得灰色预测模型方程。
由于在本问题中需要2001-2005各年的人口总数，因此我们采用国家统计局对2001-2005年人口总数的公布数据，并结合原题目所给数据进行整理，得到如下数据（见表5.2-1）。
表5.2-1 中国人口发展情况统计表
年份 2001 2002 2003 2004 2005 总人口（万） 出生率（?） 死亡率（?） 127627.0 128453.0 129227.0 129988.0 130756.0 13.38 12.86 12.41 12.29 12.40 6.43 6.41 6.40 6.42 6.51 自然增长率（?） 6.95 6.45 6.01 5.87 5.89 净增人口（万） 884 826 774 761 768
Step1：记2001年~2005年净增人口为
x(0)?(x(0)(1),x(0)(2),x(0)(3),x(0)(4),x(0)(5))
Step2：对x(0)作一次累加，形成生成数据序列：
(1)(1)(1)(1)x?(x(1),x(2),?,x(5)) Step3: 取x(1)的加权均值，则
z(1)(k)??x(1)(k)?(1??)x(1)(k?1)(k?2,3,4,5)，
其中?取0.5，记
z(1)?(z(1)(2),z(1)(3),?,z(1)(5)) Step4：GM(1,1)的白化微分方程模型为：
dx(1)dt?ax(1)?u
式中：a,u表示待估计参数，其中a是发展灰度，u是内生控制灰度，
?为待估计参数向量，则 设a?a??a?????u??
Step5：利用最小二乘法对微分方程进行求解，得到
??(BT?B)?1?BT?Y(0) a
其中，Y(0)?(x(0)(2),x(0)(3),?,x(0)(5))T
10