10人口（亿）86420201020152020202520302035204020452050城镇人口乡人口
5.4-5不同地区人口变化预测图
由上图可见，随着时间的推移，城镇人口数量呈上升趋势，而乡村人口呈下降趋势，超过2015年左右，城镇人口就会超过乡村人口，占据中国人口的主要部分。
4．模型检验
单区域模型检验中，我们参考《江苏石油化工学院学报》1999年第2期第11卷李华中的论文《人口预测的一种综合分析方法》中的中国人口预测数据资料。将预测得到的中国人口数量和我们计算所得的人口估计值进行比较，见下表：
5.5-7预测得到的人口数量和计算所得的人口估计值
年份 人口（亿） 相对误差% 年份 人口（亿） 相对误差% 年份 人口（亿） 相对误差% 2010 13.4059 2.60 2016 14.0199 1.26 2030 14.4155 2.51 2011 13.5926 1.94 2017 14.0873 1.25 2035 14.3860 1.43 2012 13.6863 1.74 2018 14.477 1.00 2040 14.3103 0.17 2013 13.7776 1.56 2019 14.2013 1.40 2045 14.1290 1.72 2014 13.8646 1.41 2020 14.2484 0.08 2050 13.9279 4.46 2015 13.9459 1.44 2025 14.3930 2.63 可见 ，我们的单区域预测模型只对个别年份人口数预测不够精确，原因在于本题附录个别数据的不准确性及统计时的偏差。
最后，将多区域模型预测得到的城镇和乡村人口预测值相加就得到了全国总人口的预测值，将这个结果和单模型得到的结果进行比对，结果见5.5-8。
5.5-8 不同年份不同区域人口总数 年份 人口（亿） 相对误差% 年份 人口（亿） 相对误差% 年份 人口（亿） 相对误差%
2010 13.4604 2.23 2016 13.896 2.16 2030 14.478 2.07 2011 13.556 2.21 2017 13.964 2.15 2035 14.2912 2.10 2012 13.624 2.38 2018 14.032 2.14 2040 13.9858 2.15 21
2013 13.692 2.19 2019 14.1 2.13 2045 13.5861 2.21 2014 13.76 2.18 2020 14.337 2.09 2050 13.2073 2.27 2015 13.8472 2.17 2025 14.4711 2.07
六、模型评价与改进
1．灰色模型的评价与改进
灰色预测模型对于影响因素的要求不高，没有考虑多种因素的影响，所以在短期内影响因素基本不变的情况下用灰色预测模型预测中国人口增长趋势是合理的。
灰色预测模型将研究对象作为一个发展变化的系统，可对事物发展态势进行量化比较分析，其动态过程能反应系统已知信息和未知信息相互影响、相互制约的系统特征，并能揭示系统内涵的本质联系。它具有以下主要特点：（1）少数据性（2）良好的时效性（3）较强的系统性和关联性，（4）建模精度较高，可保持原系统的特征，能较好的反映系统的实际状况。灰色预测求方法求解需要的计算量小，在少量样本的情况下可达到较高的精度。
但当数据离散程度越大，即数据灰度越大，灰色预测精度越差。且灰色预测模型不能考虑到波动性较大的影响因素，因此需要用多元线性回归模型对不同因素对人口增长的影响进行刻画。由于要对未来10年的数据都要进行预测，预测的时间跨度稍大，所以预测的误差必然存在。当然，数学预测方法有很多种，进一步的模型改进，我们认为可以选取其它的预测方法，如：可用最优组合模型进行预测。
2．差分方程模型的评价与改进
从差分方程法的原理、步骤和解法等方面的讨论我们不难看出它有以下优点:
（1）全面性。差分方程法建模时，把研究对象分为若干等间隔的数据段分别进行分析，细致严密的考虑到了所研究对象的各个方面，成为分析种群增长、交通网络、市场经济等大规模数据预测问题的重要方法。
（2）实用性。差分方程法把定性与定量方法结合起来，能处理很多用传统的统计预测技术无法着手的实际问题，应用范围很广泛。
（3）简洁性。 差分方程法的精髓就是迭代相加，具有中等文化程度的人即可了解差分方程的基本原理和掌握它的基本计算步骤，计算也相对简便，且结果简单明确。
但差分方程的的局限性：
（1）分段很细，增加了统计者的统计工作量，无形中增加了人力、物力、财力的消耗；
（2）它仅适用于中长期的数据预测问题，判断结果是粗糙的，不适用于精度很高的短期预测问题。
（3）分段时人的主观因素作用很大，分段间隔决定了模型的精度，但在模型建立与求解时事先难以知道最好的分段间隔。
（4）差分方程法在预测人口模型时研究对象仅限于女性人口，对于出生人口性别比为知时就难以得出总人口预测结果。
本问题我们利用差分方程法建模时，分为预测总人口的单区域预测模型和预测城镇、乡等不同区域的多区域预测模型，它们的差别就在于是否考虑人口转移
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率，并通过两个模型的结果对照对模型进行检验。此法缺点就在于模型预测精度相对粗糙，相对误差较大。
七、参考文献
[1] 姜启源，谢金星 叶俊，《数学模型（第三版）》，北京：高等教育出版社，2003。 [2] 王沫然，Matlab与科学计算， 北京：电子工业出版社，2003。 [3] 邓聚龙，灰预测与灰决策，武汉：华中科技大学出版社，2000。
[4] 于学军， 对第五次全国人口普查数据中总量和结构的估计.人口研究 ,2002。 [5] 夏乐平，1979-2000年中国人口生育趋势:出生数据和教育数据的比较分析. 人口研究 ,2005。 [6] 李华中，《江苏石油化工学院学报》的论文《人口预测的一种综合分析方法》1999年第2期第11卷。
八、附件
附件1：2005年不同年龄段妇女人口统计表 附件2：灰色预测程序： 附件3：差分方程法程序。
附件1：2005年不同年龄段妇女人口统计表（万人） 年龄段 （岁） 0——4 5——9 10——14 15——19 20——24 25——29 30——34 35——39 40——44 45——49 50——54 55——59 60——64 65——69
城市妇女比率% 1.94 2.26 2.72 3.95 4.03 4.16 4.98 5.06 4.61 3.65 3.59 2.55 1.85 1.68 城市妇女镇妇女 镇妇女镇妇女 乡村妇女总妇女人人口（万） 比率% 674.03 785.21 945.03 1372.4 1400.2 1445.3 1730.2 1758.0 1601.7 1268.2 1247.3 885.97 642.76 583.70 2.37 2.84 3.67 4.08 3.00 3.68 4.85 5.32 4.6 3.29 3.44 2.45 1.77 1.5 23
人口（万） 508.79 609.69 787.88 875.90 644.04 790.03 1041.2 1142.1 987.53 706.30 738.50 525.97 379.99 322.02 比率% 2.63 3.14 4.24 4.15 2.77 2.86 3.84 4.77 4.19 3.24 3.68 2.72 1.99 1.65 人口（万） 口 （万） 1960.5 2340.7 3160.7 3093.6 2064.9 2132.0 2862.5 3555.7 3123.4 2415.2 2743.2 2027.6 1483.4 1230.0 3143.32 3735.6 4893.61 5341.9 4109.14 4367.33 5633.9 6455.8 5712.63 4389.7 4729 3439.54 2506.15 2135.72
70——74 75——79 80——84 85——89 90—— 1.32 0.82 0.46 0.18 0.03 458.62 284.90 159.82 625.39 10.423 1.21 0.81 0.47 0.2 0.07 259.76 173.89 100.90 42.936 15.028 1.42 0.98 0.58 0.22 0.08 1058.5 730.53 432.36 164.00 59.635 1776.88 1189.32 693.08 832.326 85.086 附件2：灰色预测程序： clc
x1=884,x2=826,x3=774,x4=761,x5=768, y1=x1,y2=y1+x2,y3=y2+x3,y4=y3+x4,y5=y4+x5, A=[-(y1+y2)/2,1; -(y2+y3)/2,1; -(y3+y4)/2,1; -(y4+y5)/2,1]; Y=[x2; x3; x4; x5] B=A', C=B*A, D=inv(C), E=D*B*Y,
x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16];y=(x1-842.2356/0.0243)*(exp(-0.0243*x)-exp(-0.0243*(x-1)))
附件3：差分方程法程序：
2010年：
A=[0,0,0,0.0065,0.2863,0.2298,0.0402,0.011,0.002,0.0008,0,0,0,0,0,0,0,0,0;
0.99637,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0.99971,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0.99978,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0.99955,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0.99949,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0.99821,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0.99922,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0.99894,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0.9987,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.9978,0,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.99673,0,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.99481,0,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.99108,0,0,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.98496,0,0,0,0,0;
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0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.974,0,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.95497,0,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.92428,0,0; 0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0.8822,0]; B=[3143.32; 3735.6; 4893.61; 5341.9; 4109.14; 4367.33; 5633.9; 6455.8; 5712.63; 4389.7; 4729; 3439.54; 2506.15; 2135.72; 1776.88; 1189.32; 693.08; 832.326; 85.086]; C=A*B
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