??z(1)(2)B???1??z(1)(3)???z(1)1(5)?? ?1?TStep6：我们可以建立每年净增人口（万）与时间(年)的灰色预测模型为：
u???(0)(k?1)?x?(1)(k?1)?x?(1)(k)??x(0)(1)???e?ak?e?a(k?1)xa????
?(0)(k?1)表示第k?1年净增人口（万）其中，x；k表示年份；a表示发
展灰度，u表示内生控制灰度。
利用Matlab软件对上述模型进行求解（见附件2），得到未来10年净增人口的预测值，我们将其作为对中短期人口增长趋势的预测结果（见表5.2-2）。
表5.2-2 2006-2015年净增人口和总人口预测值（万人）
年份 净增人口 总人口 年份 净增人口 总人口 2006 735.79 131491.5 2011 651.61 134913.8 2007 718.13 132209.6 2012 635.97 135549.8 2008 700.89 132910.5 2013 620.7 136170.5 2009 684.06 133594.5 2014 605.8 136776.3 2010 667.64 134262.2 2015 591.26 137367.5 从上表中可得到短时期人口增长和净增人口的预测数据，不难发现在2010
年人口总数会达到13.5亿，2015年则增长至13.8亿。 为了更形象直观的反映人口增长的趋势，分别绘制了如下关于净增人口和人口数量随时间变化的曲线图（分别见图5.2-1和图5.2-2）
1000900800700 净增人口6005004003002001000 2002200420062008年份20102012实际值预测值2014
图5.2-1 2001-2015年净增人口
11
15 14.5总人口（亿人）1413.51312.5实际值预测值12 2002200420062008年份201020122014
图5.2-2 2001-2015年总人口数
观察图形的走势可知：中短期内我国净增人口呈下降趋势，但总人口仍然持 续上升，且上升速度逐渐减慢。
3．模型的检验
灰色预测模型检验有残差检验、关联度检验和后验差检验，这里我们进行残差检验。
?(1)(i)，按所建模型计算有 第一步： 计算x?(1)(i?1)xi?0,1,2,3,4,5
?(0)(i)。即原始数列模型计算值。计算公式为 ?(1)累减还原计算x第二步： x??(0)(i)?x?(1)(i)?x?(1)(i?1)(i?1,2,3,?,n)?x ?(0)(1)??(1)?x?(1)?x
第三步： 计算绝对误差和相对误差
绝对误差相对误差??? (0)(0)(0):?(i)?[?(i)/x(i)]?100%(i?1,2,?,5)??:?(i)?x(i?1,2,?,5)(0)(0)?(0)(i)(i)?x
最后得到的结果如下（见表5.2-3）：
表5.2-3人口的实测值与预测值比较
年份 实际净增人口（万） 预测净增人口（万） 残差 相对误差
2001 884 884 0 0 2002 826 810.9045 15.0955 1.827% 2003 774 791.4370 -17.437 -2.253% 2004 761 772.4369 -11.4369 -1.503% 2005 768 753.8929 14.1071 1.837% 从上表可以看出，预测值残差都小于20，相对误差都小于3%，可以认为使用GM（1，1）模型的预测效果是令人满意的。
我们对该模型的精度还进行了级比偏差值检验，?(k)?0.05?0.1，说明模
12
型拟合效果好。
5.2.3 多元线性回归模型 1． 变量的定义与选取
根据对人口增长因素的基本分析看到老龄化等因素对人口数量有显著影响，再紧密结合题目要求，选择如下影响人口数目的几个重要因素作如下定义：
1）老龄化程度： X1?2）死亡率： X2?大于65岁的人口数该年总人口数死亡人数该年总人数乡村人口数总人口数?100%；
?100%；3）时间变化： X4?年份?2000； 4）乡村人口比例： X5??100%；
其中，乡村人口的比例变化完全可以反映人口城镇化的波动情况（我们也通
过附件数据验证过这一点）；时间变化是在年份值上减去2000，目的是为了便于分析预测。
2． 变量的动态筛选
由于在本问题中需要大量利用2001-2005各年的人口总数，因此这里我们也采用国家统计局公布的官方数据，整理如下（见表5.3-1）：
年份 2001 2002 2003 2004 2005 时间序列 1 2 3 4 5 表 5.3-1 2001-2005年人口情况汇总表 老龄化程度死亡率出生人口性乡村人口（%） 7.54 7.93 8.25 8.57 9.046 （?） 6.43 6.41 6.40 6.42 6.51 别比(%) 114.60 114.26 117.49 122.25 118.54 62.83 61.29 58.76 58.82 55.16 该年人口 127627.0 128453.0 129227.0 129988.0 130756.0 比例（%） 数（万） 考虑到影响人口数目的因素众多，且这些因素可能存在高度多重共线性。因
此，在回归分析前需要对这些因素进行动态筛选，否则会造成严重的“伪回归”（相关理论可参考回归分析教材）。计算这些变量之间的复相关系数可见，老龄化程度和乡村人口比例的PEARSON相关系数为-0.976，高度负相关，所以就选择老龄化程度指标来反映它们的变化即可。同样的，对其他指标可以采用相同的处理方式，最后确定如下讨论因素：时间变化，老龄化程度，乡村人口比例，死亡率。
3． 模型的建立与求解
根据上面所选择的四个因素，分别以时间变化、自然增长率、老龄化程度和 出生人口性别比例为自变量X1,X2,X3,X4，建立多元线性回归模型：
??在SPSS软件中，调用【Analyse】【Regression】【Curve Estimation...】，
采用最小二乘法对上述模型的参数进行求解，可以得到如下具体形式
Y??0??1X1??2X2??3X3??4X4??
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Y?126515.15?969.01X3?103.012X1?21.245X4?2277.79X2
由上述回归方程可知，时间变化、老龄化程度和乡村人口比例的回归系数分别为969.01、103.012和21.245，它们和人口增长为正相关的关系；而死亡率的回归系数为-2277.79，它和人口增长为负相关的关系。同时，由回归系数可以得到这4个因素的影响程度大小为依次为：
死亡率>时间变化>老龄化程度>乡村人口比例
此外，得到该回归方程的可决系数R2、标准差、F值和P值（见表5.3-2）。
表5.3-2 参数检验分析表 2R 0.871
标准差 15.155 值 1080.739 FP值 0.001 统计量说明：R2---可决系数，其值越大越好；
F----回归方程的显著性检验，一般取值为12，F值大于规
定值，则表示显著，否则不显著；
。 P值----相伴概率，一般要求的范围之内（P < 0.01）
再者，考虑到中短期内影响人口因素的老龄化程度、死亡率和乡村人口比例不会出现较大波动（一般人口模型中参数的变动要在十年以上才考虑），因此，对这三个因素可以采取移动平均法得到对X1,X2,X3的估计值如下：
X1?8.712%,X4?59.372%,X2??2277.793;
然后，通过回归方程求解，可以直接得到2006-2015年的人口数目（见表5.3-3）。
表5.3-3 2006-2015年人口数目预测值（单位：亿） 年份 人口 2006 13.233 2007 13.330 2008 13.427 2009 13..524 2010 13.621 2012 13.718 2013 13.815 2014 13.912 2015 14.009 4．线性回归模型的检验
首先，通过表5.3-2可以得到各检验参数值，从该分析表看到，我们的回归模型通过了理论模型检验，具有显著的统计学意义，说明该模型的有效性。
其次，将得到的回归模型用于对2001-2005年人口的预测，可得到2001-2005年的预测人口数（单位：万）为：
127490.9 128459.9 129428.9 130398.0 131366.9
最后，将预测人口数和实际人口数进行比较（见图5.3-4）。
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图5.3-4 预测人口数和实际人口数
由图可以看出多元线性回归模型在短期内对人口的预测精度高，而对中期预测则存在一定偏离，这说明了线性回归模型随着时间的推移置信区间会增大，故它最适合应用于中短期预测。
5.2.4 灰色预测模型和线性回归模型的结果比较
上面利用了两种不同模型对中国人口进行中短期预测，为了比较它们的优劣，计算其拟合误差（见表5.4-1）。很明显，灰色预测模型的拟合效果明显好于回归模型，因此我们最终选择灰色模型来刻画描述我国人口中短期增长变化趋势。
表5.4-1 回归模型与灰色模型比较
年份 2001 2002 2004 2005 实际值 127627.0 128453.0 129988.0 130756.0 线性回归 拟合值 127490.0 128495.9 129428.9 130398.0 131366.9 灰色预测 拟合值 127627.0 128437.9045 129229.3415 130001.7784 130755.6713 线性回归 拟合误差 1.073% 0.334% 1.562% -3.154% -4.672 % 灰色预测 拟合误差 0.0 0.012% -0.002 % -0.011% 0.0002% 2003 129227.0
虽然回归模型的预测效果不及灰色预测模型，但它却揭示了老龄化程度、死亡率等这些因素对人口变化的影响以及影响程度的大小，回归系数的绝对值越大,说明该因素的影响程度越大。
5.3长期人口增长预测
长期预测模型就是要分析人口数量的长期变化趋势，根据人口统计学知识，出生率、死亡率和迁移率是刻画人口变动的基本因素，它们直接决定了人口未来发展的基本方向和趋势。所以本部分就是要以这些变量为基础，从机理角度建立它们与人口变动的动态差分模型。
1．模型的准备 （1）年龄的离散化
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