2008高考数学压轴试题集锦（二）
21．已知数列?an?的首项a1?2a?1（a是常数，且
a??1），an?2an?1?n2?4n?2（n?2），数
的首项b1?a，bn?an?n2（n?2）。 （1）证明：?bn?从第2项起是以2为公比的等比数（2）设Sn为数列?bn?的前n项和，且?Sn?是等比数实数a的值；
（3）当a>0时，求数列?an?的最小项。
22．已知抛物线C：y?2px(p?0)上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1。
2列?bn?列； 列，求
（1）求抛物线C的方程；
（2）若过焦点F的直线交抛物线于M、N两点，M在第一象限，且|MF|=2|NF|，求直线MN的方程； （3）求出一个数学问题的正确结论后，将其作为条件之一，提出与原来问题有关的新问题，我们把它称
为原来问题的一个“逆向”问题． 例如，原来问题是“若正四棱锥底面边长为4，侧棱长为3，求该正四棱锥的体积”．求出体积16后，它
3的一个“逆向”问题可以是“若正四棱锥底面边长为4，体积为16，求侧棱长”；也可以是“若正四棱锥
3的体积为16，求所有侧面面积之和的最小值”．
3 现有正确命题：过点A(?p,0)的直线交抛物线C：y2?2px(p?0)于P、Q两点，设点P关于x轴的对2称点为R，则直线RQ必过焦点F。
试给出上述命题的“逆向”问题，并解答你所给出的“逆向”问题。 23．已知函数f(x)=
5?2x，设正项数列?an?满足a1=l，an?1?f?an?．
16?8x (I)写出a2，a3的值; (Ⅱ)试比较an与
5的大小，并说明理由； 4n51n
(Ⅲ)设数列?bn?满足bn=－an，记Sn=?bi．证明：当n≥2时,Sn＜(2－1)．
44i?124．已知函数f(x)=x－3ax(a∈R)．
(I)当a=l时，求f(x)的极小值；
(Ⅱ)若直线菇x+y+m=0对任意的m∈R都不是曲线y=f(x)的切线，求a的取值
范围；
(Ⅲ)设g(x)=|f(x)|，x∈[－l，1]，求g(x)的最大值F(a)的解析式． 25．在平面直角坐标系中，已知三个点列{An}，{Bn}，{Cn}，其中An(n,an),Bn(n,bn)
3
Cn(n?1,0)，满足向量AnAn?1与向量BnCn共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的
线上a1?a,b1??a.
（1）试用a与n表示an(n?2)；
（2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，试求a的取值范围。 26．已知F1(?2,0),F2(2,0),点P满足|PF1|?|PF2|?2，记点P的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程；
（2）若直线l过点F2且与轨迹E交于P、Q两点.
（i）无论直线l绕点F2怎样转动，在x轴上总存在定点M(m,0)，使MP?MQ恒成立，求实数m的
值.
1的垂线PA、OB，垂足分别为A、B，记??|PA|?|QB|，求λ的取值范围. 2|AB|27．设x1、x2(x1?x2)是函数f(x)?ax3?bx2?a2x(a?0) 的两个极值点.
（ii）过P、Q作直线x? （1）若x1??1,x2?2，求函数f(x)的解析式； （2）若|x1|?|x2|?22,求b的最大值；
（3）若x1?x?x2,且x2?a,函数g(x)?f?(x)?a(x?x1)，求证：|g(x)|?28．已知f(x)?logax(0?a?1),{an}，若数列{an}
使得2,f(a1),f(a2),f(a3),??,f(an),2n?4(n?N*)成等差数列. （1）求{an}的通项an;
1a(3a?2)2. 122a42na2n?4?1,求证:Sn??3. （2）设bn?an?f(an), 若{bn}的前n项和是Sn，且221?a1?ax2y229．点P在以F1,F2为焦点的双曲线E:2?2?1(a?0,b?0)上，已知PF1?PF2，|PF1|?2|PF2|，
abO为坐标原点．
（Ⅰ）求双曲线的离心率e；
（Ⅱ）过点P作直线分别与双曲线渐近线相交于P1?OP2??1,P2两点，且OP曲线E的方程；
（Ⅲ）若过点Q(m,0)（m为非零常数）的直线l与（2）中双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且MQ??QN（?为非零常数），问在x轴上是否存在定点G，使F1F2?(GM??GN)？若存在，求出所有这种定点G的坐标；若不存在，请说明理由．
3230.已知函数f(x)?ax?3x?6ax?11，g(x)?3x2?6x?12，和直线m:y?kx?9，又f?(?1)?0．
27，2PP1?PP2?0，求双4（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）是否存在k的值，使直线m既是曲线y?f(x)的切线，又是y?g(x)的切线；如果存在，求出k的
值；如果不存在,说明理由．
（Ⅲ）如果对于所有x??2的x,都有f(x)?kx?9?g(x)成立，求k的取值范围．
31．已知二次函数f(x)?ax2?bx?c,(a,b,c?R)满足：对任意实数x，都有f(x)?x，且当x?（1，3）
时，有f(x)?1(x?2)2成立。 8 （1）证明：f(2)?2。
（2）若f(?2)?0,f(x)的表达式。 （3）设g(x)?f(x)?范围。
32．（1）数列{an}和{bn}满足an?{an}为等差数列。（8分）
（2）数列{an}和{cn}满足cn?an?2an?1(n?N*)，探究{an}为等差数列的充分必要条件，需说明理由。
[提示：设数列{bn}为bn?an?an?2(n?1,2,3?)
33．某次象棋比赛的决赛在甲乙两名棋手之间举行，比赛采用积分制，比赛规则规定赢一局得2分，平一局得1分，输一局得0分；比赛共进行五局，积分有超过5分者比赛结束，否则继续进行. 根据以往经验，每局甲赢的概率为
m1
x x?[0,??)，若g(x)图上的点都位于直线y?的上方，求实数m的取值24
1(b1?b2???bn) （n=1，2，3?），求证{bn}为等差数列的充要条件是n11，乙赢的概率为，且每局比赛输赢互不受影响. 若甲第n局赢、平、输的得分分别记为23an?2、an?1、an?0n?N*,1?n?5,令Sn?a1?a2???an .
(Ⅰ)求S3?5的概率；
（Ⅱ）若随机变量?满足S??7（?表示局数），求?的分布列和数学期望.
34．如图，已知直线l与抛物线x2?4y相切于点P(2, 1)，且与x轴交于点A，定点B的坐标为(2, 0) . （I）若动点M满足AB?BM?2AM?0，求点M的轨迹C；
（II）若过点B的直线l?（斜率不等于零）与（I）中的轨迹C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求
?OBE与?OBF面积之比的取值范围.
x2y235．已知AB是椭圆2?2?1(a?b?0)的一条弦,M(2,1)是AB的中点,以M为焦点,以椭圆的右准线为相
ab应准线的双曲线与直线AB交于N(4,?1).
(1)设双曲线离心率为e,试将e表示为椭圆的半长轴长的函数;
(2)当椭圆的率心率是双曲线离心率的倒数时,求椭圆的方程;
(3)求出椭圆长轴长的取值范围.
36．设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合：
①
an?an?2?an?1; ②an?M.其中n?N*,M是与n无关的常数. 2 （1）若{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，a3=4，S3=18，证明：{Sn}∈W （2）设数列{bn}的通项为bn?5n?2n,且{bn}?W，求M的取值范围；
（3）设数列{cn}的各项均为正整数，且{cn}?W.证明：cn?cn?1 37．数列?an?和数列?bn?（n?N+）由下列条件确定： （1）a1?0，b1?0；
（2）当k?2时，ak与bk满足如下条件：当
ak?1?bk?1a?ba?b?0时，ak?ak?1，bk?k?1k?1；当k?1k?1?0时，222ak?ak?1?bk?1，bk?bk?1. 2解答下列问题：
（Ⅰ）证明数列?ak?bk?是等比数列；
（Ⅱ）记数列?n(bk?an)?的前n项和为Sn，若已知当a?1时，limn?0，求limSn.
n??n??an（Ⅲ）n(n?2)是满足b1?b2???bn的最大整数时，用a1，b1表示n满足的条件.
1?ax,x??0,??? (a为实常数)． x (1) 当a = 0时，求f?x?的最小值；
38. 已知函数f?x??lnx? (2)若f?x?在[2,??)上是单调函数，求a的取值范围； (3)设各项为正的无穷数列{xn}满足lnxn?1?1?n?N*?, 证明：xn≤1(n∈N*)． xn?139.设函数f(x)?x3?ax2?bx(x?0)的图象与直线y?4相切于M(1,4)． （Ⅰ）求f(x)?x3?ax2?bx在区间(0,4]上的最大值与最小值；
32（Ⅱ）是否存在两个不等正数s,t(s?t)，当x?[s,t]时，函数f(x)?x?ax?bx的值域也是[s,t]，若
存在，求出所有这样的正数s,t；若不存在，请说明理由；
32（Ⅲ）设存在两个不等正数s,t(s?t)，当x?[s,t]时，函数f(x)?x?ax?bx的值域是[ks,kt]，求正
数k的取值范围．
*40. 已知数列?an?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)n?N．
?? （1）求a2,a3,a4；
（2）求数列?an?的通项an；
（3）设数列{bn}满足b1?
参考答案：
21.解：（1）∵bn?an?n2
112,bn?1?bn?bn，求证：bn?1(n?k) 2ak∴bn?1?an?1?(n?1)2?2an?(n?1)2?4(n?1)?2?(n?1)2 ?2an?2n2?2bn(n≥2) ????3分 由a1?2a?1得a2?4a，b2?a2?4?4a?4， ∵a??1，∴ b2?0，????4分
即{bn}从第2项起是以2为公比的等比数列。????5分
(4a?4)(2n?1?1)??3a?4?(2a?2)2n ????8分 （2）Sn?a?2?1Sn(2a?2)2n?3a?43a?4当n≥2时， ??2?Sn?1(2a?2)2n?1?3a?4(a?1)2n?1?3a?4∵{Sn}是等比数列, ∴Sn(n≥2)是常数，
Sn?1∴3a+4=0，即a??4 。????11分 3（3）由（1）知当n?2时，bn?(4a?4)2n?2?(a?1)2n， 所以an???2a?1n(n?1)2?(a?1)2?n(n?2)，????13分
所以数列?an?为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，?? 显然最小项是前三项中的一项。????15分 当a?(0,)时，最小项为8a-1；
141时，最小项为4a或8a-1；???16分 411当a?(,)时，最小项为4a；
421当a?时，最小项为4a或2a+1；????17分
21当a?(,??)时，最小项为2a+1。????18分
2当a?
22. 解：（1）y?4x ????4分
2