（2）若f(x)?x3?6x2?9x在[s,t]上单调增，即0?s?t≤1或3?s?t，
32??f(s)?s?s?2?s?6s?9s?s则?，即?3，解得不合要求； ?2??f(t)?t?t?4?t?6t?9t?t（3）若f(x)?x3?6x2?9x在[s,t]上单调减，即1≤s?t≤3，则??f(s)?t，
f(t)?s?两式相减并除s?t得：(s?t)2?6(s?t)?st?10?0， ① 两式相除并开方可得[s(s?3)]2?[t(t?3)]2，
即s(3?s)?t(3?t)，整理并除以s?t得：s?t?3， ②
?s?t?32则①、②可得?，即s,t是方程x?3x?1?0的两根，
?st?1即存在s?3?53?5，t?满足要求； 22（Ⅲ）同（Ⅱ），极值点(3,0)不可能在区间[s,t]上；
1≤t?3， （1）若极值点M(1,4)在区间[s,t]，此时0?s≤???故有①????0?s≤1≤t?3kt?4ks?f(s)f(s)≤f(t)???或②????0?s≤1≤t?3kt?4ks?f(t)f(s)≥f(t)
①由k?44，1≤t?3知，k?(,4]，当且仅当t?1时，k?4； t3再由k?(s?3)2，0?s≤1知，k?[4,9]，当且仅当s?1时，k?4 由于s?t，故不存在满足要求的k值。 ②由s?1tt(3?t)2f(t)?f(t)?[]，及0?s≤1可解得2≤t?3， k4244所以k?，2≤t?3知，k?(,2]；
t3441tt(3?t)2]?(0,1]， 即当k?(,2]时，存在t??[2,3)，s?f(t)?f(t)?[3kk424且f(s)≥4s?f(t)?f(t)，满足要求。
k（2）若函数f(x)在区间[s,t]单调递增，则0?s?t≤1或3?s?t，
且??f(s)?ks2，故s,t是方程x?6x?9?k的两根，
?f(t)?kt由于此方程两根之和为3，故[s,t]不可能同在一个单调增区间；
?f(s)?kt（3）若函数f(x)在区间[s,t]单调递减，即1≤s?t≤3，?，
f(t)?ks?两式相除并整理得s2(s?3)2?t2(t?3)2，
由1?s?t?3知s(s?3)?t(t?3)，即s?t?3，
再将两式相减并除以s?t得，?k?(s2?st?t2)?6(s?t)?9?(s?t)2?6(s?t)?9?st??st， 即k?st?(s?t299)?。即k?(0,)，s,t是方程x2?3x?k?0的两根， 244即存在s?3?9?4k3?9?4k，s?满足要求。
229时，存在两个不等正数s,t(s?t)，使x?[s,t]时，函数f(x)?x3?6x2?9x的4综上可得，当0?k?值域恰好是[ks,kt]。
40．解：（1）a2?2,a3?3,a4?4
（2）nan?1?2(a1?a2?...?an) ○1
2 (n?1)an?2(a1?a2?...?an?1) ○
1—○2得nan?1?(n?1)an?2an即：nan?1?(n?1)an，○，
an?1n?1 ?ann所以an?a1a2a3an23n...?1...?n(n?2)所以an?n(n?N*) a1a2an?112n?1，
112,bn?1?bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0， 2k（3）由（2）得：b1?所以{bn}是单调递增数列，故要证：bn?1(n?k)只需证bk?1
若k?1，则b1?1121?1显然成立；若k?2，则bn?1?bn?bn?bnbn?1?bn 2kk，
所以
111111111k?1k?1????(?)?...?(?)????2?因此： bn?1bnk，bkbkbk?1b2b1b1kkk?1所以bn?1(n?k)
。k?1，
所以bk?