t2（2）设N(,?t)（t>0），则M(t2,2t)，F(1,0)。
4因为M、F、N共线，则有kFM?kNF，????6分 所以
?t12t?14?2t，解得t?2，????8分 2t?1所以k?22?22，????10分 2?1因而，直线MN的方程是y?22(x?1)。????11分 （3）“逆向问题”一：
①已知抛物线C：y2?2px(p?0)的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(?证明：设过F的直线为y=k(x?p,0)。????13分 2p)，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则R(x1,?y1) 2?y2?4x122p2?222由?，????14分 p得kx?(pk?4)x?4pk?0，所以x1x2?4?y?k(x?)?2pk(x1?)?y12，????15分 kRA???ppx1?x1?22pppk(x2?)k(x1x2?x1)k(x1?)2?22=k，????16分 kQA???RApppx2?x1x2?x1x1?222所以直线RQ必过焦点A。????17分
[注：完成此解答最高得6分。]
②过点A(?p,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，FP与抛物线交于另一点R，则RQ垂直于x轴。
2[注：完成此解答最高得6分。]
③已知抛物线C：y?2px(p?0)，过点B(m,0 )（m>0）的直线交抛物线C于P、Q两点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(-m,0)。
[注：完成此解答最高得7分，其中问题3分。] “逆向问题”二：已知椭圆C：
2x2y2?2?1的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交椭圆C于P、Q两点，2aba2设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(,0)。
c[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。]
22“逆向问题”三：已知双曲线C：x?y?1的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，过F2的直线交双曲线C于P、Q两
22ab点，设点P关于x轴的对称点为R，则直线RQ必过定点A(a2c,0)。
[注：完成此解答最高得9分，其中问题4分。] 其它解答参照给分。
23．(1)a5?2an73n?1?，因为a1?（2）因为a16?8a1,所以a2?,a3?.???????????? 2分
n84n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.?????????????3分
a55?2a48(a55n5n?)an?n?1?44?16?8a???3?4,?????????????????5分 n432(2?an)22?an因为2?a5n?0,所以an?1?4与a5n?4同号，??????????????????6分 因为a54??14?0，a551?2?4?0,a3?4?0,
?，a55n?4?0,即an?4.??????????????????????????8分
（3）当n?2时，b54?a31531n?n?2?2?a?(?an?1)???bn?1 n?1422?an?1?32?1?bn?1?2bn?1，??????????????????????????10分 2?54所以bn?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b?31?2n，?????????????????12分
3?n1(1?2n)所以Sn?b1?b2???bn?114?2???????1??2???41?2?14(2n?1)????14分
24．（1）∵当a=1时f??x??3x2?3，令f??x?=0，得x=0或x=1?????????2分 当x??0,1?时f??x??0，当x????,0???1,???时f??x??0 ∴f?x?在?0,1?上单调递减，在???,0???1,???上单调递增，
∴f?x?的极小值为f?1?=-2.????????????????????????4分 （2）∵f??x??3x2?3a??3a????????????????????????6分 ∴要使直线x?y?m=0对任意的m?R总不是曲线y?f(x)的切线，当且仅当-1<-3a, ∴a?13.??????????????????????????????????8分 (3)因g?x??f?x??x3?3ax在[-1,1]上为偶函数,故只求在 [0,1]上最大值，????9分 ① 当a?0时，f??x??0，f?x?在?0,1?上单调递增且f?0??0,
∴g?x??f?x??f?x?，∴F?a??f?1??1?3a.????????????????10分
② 当a?0时 f??x??32x?3a?3?x???ax?? ai .当
a?1，即a?1时g?x??f?x???f?x?，?f?x?在?0,1?上单调递增，此时
F?a???f?1??3a?1??????????????????????????12分
???ii. 当0?a?1，即0?a?1时，g?x??f?x?在??0,a?上单调递减，在?a,1?上单调递增.
10,a?a,1?10 当f?1??1?3a?0即?a?1时，g?x??f?x???f?x?在?上单调递增，在?上单调递????3减，故F?a???f?a??2aa.??????????????14分
20当f?1??1?3a?0即0?a?（ⅰ）当?f1时， 3时， F?a??f?1??1?3a ?a??f?1??1?3a即0?a?14（ⅱ） 当?f1?a?时，F?a???f?a??2a?a??f?1??1?3a即143a 1?1?3a,(a?),?4?1?综上F?a???2aa,(?a?1),??????????????????16分
4??3a?1,[1,??).??25．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分8分,第2小题满分6分
（1）
AnAn?1?(1,an?1?an),BnCn?(?1,?bn),?AnAn?1与BnCn共线，?an?1?an?n,
又∵{Bn}在方向向量为（1，6）的直线上，?bn?1?bn?6,即bn?1?bn?6
n?1?n
?bn??a?6(n?1)an?a1?(a2?a1)?(a3?a2)?...?(an?an?1)?a?b1?b2?...?bn?1(n?1)(n?2)?6 2?a?a(n?1)?3(n?1)(n?2)?3n2?(9?a)n?6?2a(n?2)?a?(?a)(n?1)?（2）∵二次函数f(x)?3x2?(a?9)x?6?2a是开口向上，对称轴为x?又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列{an}的最小项， ∴对称轴x?a?9的抛物线 6a?9111511a?915应该在[,]内，即??,?24?a?36 62226226．（本题满分14分）本题共2个小题,第1小题满分4分,第2小题满分10分
解：（1）由|PF1|?|PF2|?2?|F1F2|知，点P的轨迹E是以F1、F2为焦点的双曲线右支，由
y2?1(x?1).????4分 c?2,2a?2,?b?3，故轨迹E的方程为x?322 （2）当直线l的斜率存在时，设直线方程为y?k(x?2),P(x1,y1),Q(x2,y2)，与双曲线方程联立消y
得(k?3)x?4kx?4k?3?0，
2222?k2?3?0????02? ??x?x?4k?0 122k?3??4k2?3?x1?x2?2?0k?3? 解得k2 >3 ??????????????????????????????5分 （i）?MP?MQ?(x1?m)(x2?m)?y1y2
?(x1?m)(x2?m)?k2(x1?2)(x2?2)?(k2?1)x1x2?(2k2?m)(x1?x2)?m2?4k22222(k?1)(4k?3)4k(2k?m)22 ???m?4kk2?3k2?33?(4m?5)k2??m2.????????7分2k?3 ?MP?MQ,?MP?MQ?0，
故得3(1?m2)?k2(m2?4m?5)?0对任意的 k?3恒成立，
2??1?m?0,解得m??1. ??2??m?4m?5?02 ∴当m =－1时，MP⊥MQ.
当直线l的斜率不存在时，由P(2,3),Q(2,?3)及M(?1,0)知结论也成立， 综上，当m =－1时，MP⊥MQ. ????????????????????8分
1是双曲线的右准线，???????????9分 2111 由双曲线定义得：|PA|?|PF2|?|PF2|,|QB|?|QF2|，
e22 （ii）?a?1,c?2,?直线x?1?k2|x2?x1||PQ|? 方法一：???
2|AB|2|y2?y1|1?k2|x2?x1|1?k211??1?2. ???10分 ?2|k(x2?x1)|2|k|2k ?k?3,?0?21113?,故???，????????????????12分 2323k1， 2 注意到直线的斜率不存在时，|PQ|?|AB|,此时???13??. ????????????????????????14分 综上，???,??23? 方法二：设直线PQ的倾斜角为θ，由于直线PQ与双曲线右支有二个交点，
2?，过Q作QC⊥PA，垂足为C，则
33?|PQ||PQ|11 ?PQC?|??|,??????. ????12分
?22|AB|2|CQ|2sin?2cos(??)2 ????? 由
?3????12?3,得?sin??1, 32 故：???,3??. ??????14分 ??23?
27．（本题满分16分）本题共3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分，第3小题满分6分
解：f?(x)?3ax2?2bx?a2(a?0).???1分 （1）?x1??1,x2?2是函数f(x)的两个极值点，
?f?(?1)?0,f?(2)?0.????????????????????????2分
?3a?2b?a2?0,12a?4b?a2?0,解得a?6,b??9. ?????????3分 ?f(x)?6x3?9x2?36x. ??????????????????????4分
（2）∵x1、x2是 f(x)是两个极值点，?f?(x1)?f?(x2)?0.
∴x1、x2是方程3ax?2bx?a?0的两根.
∵△= 4b2 + 12a3， ∴△>0对一切a > 0，b?R恒成立.
22x1?x2???a?0,2ba,x1?x2??,3a3 ?x1?x2?0.2b2a4b24?|x1|?|x2|?|x1?x2|?(?)?4(?)??a. ????????6分 23a339a4b2422由|x1|?|x2|?22得?a?22,?b?3a(6?a). ??????7分 239a?b2?0,?3a2(6?a)?0,0?a?6. ???????????????? 8分
令h(a)?3a(6?a),则h?(a)??9a?36a.
22