第9讲 §2.1.1 平面 ¤学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的\平面\；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的转化；理解可以作为推理依据的三条公理. ¤知识要点：
1. 点在直线上,记作；点在平面内,记作；直线在平面内,记作.
2. 平面基本性质即三条公理的\文字语言\、\符号语言\、\图形语言\列表如下：
公理1 公理2 公理3 图形语言 文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 符号语言 3.公理2的三条推论：
推论1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面；
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. ¤例题精讲：
【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（P56 A组5题） 解：根据公理2的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.
【例2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. （同P58 B组3题） 解：∵PEF，EF面ABC，∴P面ABC. 同理P面ADC. ∵ P在面ABC与面ADC的交线上， 又 ∵面ABC∩面ADC=AC， ∴PAC，即EF、HG、AC三线共点. 【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内. 已知：直线两两相交，交点分别为， 求证：直线共面.
证明：因为A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C三点可以确定平面α． 因为A∈α，B∈α，所以AB α． 同理BC α，AC α. 所以AB，BC，CA三直线共面． 点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1, 证三条直线在平面内. 注意文字语言给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行\共面\问题的证明. 【例4】在正方体中，
（1）与是否在同一平面内？（2）点是否在同一平面内？ （3）画出平面与平面的交线，平面与平面的交线. 解：（1）在正方体中， ∵， ∴由公理2的推论可知，与可确定平面， ∴与在同一平面内. （2）∵点不共线，由公理3可知，点可确定平面， ∴ 点在同一平面内. （3）∵，， ∴点平面，平面， 又平面，平面， ∴ 平面平面，
同理平面平面．
点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和直线外一点）. 对几条公理的作用，我们必须十分熟练. 第9练 §2.1.1 平面 ※基础达标
1．两个平面若有三个公共点，则这两个平面（ ）. A．相交 B．重合 C．相交或重合 D．以上都不对
3．E、F、G、H是三棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P，则点P（ ）.
A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内
4．用一个平面截一个正方体，其截面是一个多边形，则这个多边形边数最多是（ ）. A. 三 B. 四 C. 六 D. 八 5．下列说法中正确的是（ ）. A. 空间不同的三点确定一个平面
B. 空间两两相交的三条直线确定一个平面
C. 空间有三个角为直角的四边形一定是平面图形
D. 和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内 6．给出下列说法：① 梯形的四个顶点共面；② 三条平行直线共面；③ 有三个公共点的两个平面重合；④ 每两条都相交并且交点全部不同的四条直线共面. 其中说法正确的序号依次是 .
7．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是 . ※能力提高
8．正方体中,E、F、G、H、K、L分别是 的中点. 求证：这六点共面． 9．（1）在平面α外，，，，求证：P，Q，R三点共线. （2）已知四边形ABCD中，AB∥CD，四条边AB，BC，DC，AD（或其延长线）分别与平面α相交于E，F，G，H四点，求证：四点E，F，G，H共线. ※探究创新
10．在一封闭的正方体容器内装满水，M，N分别是AA1与C1D1的中点，由于某种原因，在D，M，N三点处各有一个小洞，为使此容器内存水最多，问应将此容器如何放置？此时水的上表面的形状怎样？
第10讲 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ¤学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌握两条异面直线所成角的定义及垂直. ¤知识要点：
1. 空间两条直线的位置关系：
2. 已知两条异面直线，经过空间任一点作直线，把所成的锐角（或直角）叫异面直线所成的角（或夹角）. 所成的角的大小与点的选择无关，为了简便，点通常取在异面直线的一条上；异面直线所成的角的范围为，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点→平移→定角→计算.
¤例题精讲：
【例1】已知异面直线a和b所成的角为50°，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30°的直线有且仅有（ ）. A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 解：过P作∥a，∥b，若P∈a，则取a为，若P∈b，则取b为．这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50°和130°.
记，所确定的平面为β，那么在平面β内，不存在与，都成30°的直线． 过点P与，都成30°角的直线必在平面β外，这直线在平面β的射影是，所成对顶角的平分线．其中射影是50°对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130°对顶角平分线的直线不存在．故答案选B.
【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；
（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线. 证明：（1）∵ 正方体中，，∴. 又 ∵ 中，E、F为中点， ∴ . ∴ , 即D、B、F、E四点共面. （2）∵ ，，，， ∴ .
又 ， ∴ ，， ∴ . 即P、Q、R三点共线
【例3】已知直线a//b//c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.
证明：因为a//b，由公理2的推论，存在平面，使得.
又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，. 假设，则, 在平面内过点C作， 因为b//c，则，此与矛盾. 故直线. 综上述，a、b、c、d四线共面.
点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.
【例4】如图中，正方体ABCD-A1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点. （1）求直线AB1和CC1所成的角的大小； （2）求直线AB1和EF所成的角的大小. 解：（1）如图，连结DC1 ， ∵DC1∥AB1， ∴ DC1 和CC1所成的锐角∠CC1D就是AB1和CC1所成的角. ∵ ∠CC1D=45°， ∴ AB1 和CC1所成的角是45°. （2）如图，连结DA1、A1C1， ∵ EF∥A1D，AB1∥DC1，∴ ∠A1DC1是直线AB1和EF所成的角. ∵ΔA1DC1是等边三角形， ∴ ∠A1DC1=60o，即直线AB1和EF所成的角是60o. 点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路. 第10练 §2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 ※基础达标
1．分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是（ ）. A. 异面 B. 平行 C. 相交 D. 以上都有可能
2．教室内有一把尺子，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线（ ）. A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．异面
3．两条直线a,b分别和异面直线c, d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）. A. 一定是异面直线 B. 一定是相交直线
C. 可能是平行直线 D. 可能是异面直线，也可能是相交直线
4．把两条异面直线称作\一对\，在正方体的十二条棱中，异面直线的对数为（ ）. A. 12 B. 24 C. 36 D. 48
5．正方体中，AB的中点为M，的中点为N，异面直线 与CN所成的角是（ ）. A．30° B．90° C．45° D．60°
6．如图，正方体中，直线与所成角为______度. 7．右图是正方体平面展开图，在这个正方体中： ① BM与ED平行； ② CN与BE是异面直线； ③ CN与BM成60o角； ④ DM与BN垂直. 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 . ※能力提高
8．已知空间四边形ABCD各边长与对角线都相等，求AB和CD所成的角的大小.
9．空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求证：EF、GH、AC三线共点. ※探究创新
10．设异面直线a与b所成角为50°，O为空间一定点，试讨论，过点O与a、b所成的角都是θ的直线l有且仅有几条?
第11讲 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 ¤学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系. ¤知识要点：
1. 直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）. 分别记作：；；. 2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作；. ¤例题精讲：
【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和CD所成的角的大小. 解：分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN，由三角形的中位线性质知PN∥AB，PM∥CD，于是∠MPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）. 连结MN、DN，设AB=2， ∴PM=PN=1. 而AN=DN=，由MN⊥AD，AM=1，得MN=，
∴MN2=MP2+NP2，∴∠MPN=90°. ∴异面直线AB、CD成90°角.
【例2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、CD的中点，若AC + BD = a ，ACBD =b，求. 解：四边形EFGH是平行四边形， =2=.
【例3】已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且. 求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 证明：（1） 在△ABD和△CBD中， ∵ E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD. 又 ∵ ， ∴ FGBD. ∴ EH∥FG.
所以，E、F、G、H四点共面. （2）由（1）可知，EH∥FG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰， 所以它们的延长线必相交于一点P. ∵ AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点， ∴ 由公理3知PAC.
所以，三条直线EF、GH、AC交于一点.
点评：一般地，证明三线共点，可证明两条直线的交点在第三条直线上，而第三条直线又往往是两平面的交线.
【例4】如下图，设△ABC和△A1B1C1的三对对应顶点的连线AA1、BB1、CC1相交于一点O，且=== .试求的值.
解：依题意，因为AA1、BB1、CC1相交于一点O，且==， 所以AB∥A1B1，AC∥A1C1，BC∥B1C1. 由平移角定理得∠BAC=∠B1A1C1，∠ABC=∠A1B1C1，△ABC∽△A1B1C1， 所以=（）2=.
点评：利用平移角定理，可证明空间两个角相等或两个三角形相似、全等；利用平行公理，可证明空间两条直线平行，从而解决相关问题. 第11练 §2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 ※基础达标
1．直线与平面不平行，则（ ）.
A. 与相交 B. C. 与相交或 D. 以上结论都不对 2．正方体各面所在平面将空间分成（ ）个部分. A. 7 B. 15 C. 21 D. 27
3．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数（ ）.
A. 有限个 B. 无限个 C. 没有 D. 没有或无限个
4．E、F、G、H是棱锥A-BCD棱AB、AD、CD、CB上的点，延长EF、HG交于P点，则点P（ ）.
A. 一定在直线AC上 B. 一定在直线BD上 C. 只在平面BCD内 D. 只在平面ABD内
5．一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零，则这两个平面（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 平行或垂合 D. 平行或相交