8．如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：．
9．如图，是矩形，平面，，是线段上的点，是线段上的点，且．求直线与平面所成角的正弦值. ※探究创新
10．如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°, （1）证明：C1C⊥BD； （2）当的值为多少时，可使A1C⊥面C1BD？
第17讲 §2.3.2 平面与平面垂直的判定 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面垂直的判定，掌握二面角和两个平面垂直的定义，理解平面与平面垂直的判定定理并会用判定定理证明平面与平面垂直的关系，会用所学知识求两平面所成的二面角的平面角的大小. ¤知识要点：
1. 定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面. 记作二面角. （简记）
2. 二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线和，则射线和构成的叫做二面角的平面角. 范围：.
3. 定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 记作.
4. 判定：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. （线面垂直面面垂直） ¤例题精讲：
【例1】已知正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连结AE、EF、AF，以AE、EF、FA为折痕，折叠使点B、C、D重合于一点P. （1）求证：AP⊥EF；（2）求证：平面APE⊥平面APF. 证明：（1）如右图，∵∠APE=∠APF=90°，PE∩PF=P， ∴ PA⊥平面PEF. ∵EF平面PEF，∴PA⊥EF. （2）∵∠APE=∠EPF=90°，AP∩PF=P，∴PE⊥平面APF. 又PE平面PAE，∴平面APE⊥平面APF.
【例2】如图, 在空间四边形ABCD中， 分别是的中点，求证：平面平面. 证明：为AC中点，所以. 同理可证 ∴ 面BGD.
又易知EF//AC，则面BGD. 又因为面BEF，所以平面平面.
【例3】如图，在正方体中，E是的中点，求证：． 证明：连接AC，交BD于F，连接，EF，，. 由正方体，易得，，F是BD的中点， 所以，得到是二面角的平面角. 设正方体的棱长为2，则 ，，
. ∴ ，即，所以. 点评：要证两平面垂直，证其二面角的平面角为直角，这也是证两平面垂直的常用方法. 此题由几何图形的特征，作出待证的两个垂直平面所成二面角的平面角是解决问题的关键. 【例4】正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=2AB，D、E分别是侧棱BB1、CC1上的点，且EC=BC=2BD，过A、D、E作一截面，求：（1）截面与底面所成的角；（2）截面将三棱柱分成两部分的体积之比. 解：（1）延长ED交CB延长线于F， ， ∴ ，. ∵， ∴ 为截面与底面所成二面角的平面角. 在Rt△AEC中，EC=AC，故得∠EAC=45°. （2）设AB=a，则， . ∴ .
点评：截面问题的研究，需注意结合截面的性质. 如何作出截面，是解决问题的关键，然后把截面的看成一个平面图形. 求二面角时，抓住二面角的平面角定义（两线垂棱），找出其平面角，解直角三角形. 第17练 §2.3.2 平面与平面垂直的判定 ※基础达标
1．对于直线、和平面、，的一个条件是（ ）. A．，， B. C． D. ， ，
2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP⊥平面ABCD，且AP=AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是（ ）. A．30° B．45° C．60° D．90° 3．在三棱锥A-BCD中，如果AD⊥BC，BD⊥AD，△BCD是锐角三角形，那么（ ）. A. 平面ABD⊥平面ADC B. 平面ABD⊥平面ABC C. 平面BCD⊥平面ADC D. 平面ABC⊥平面BCD
4．在直二面角棱AB上取一点P，过P分别在平面内作与棱成45°角的斜线PC、PD，则∠CPD的大小是（ ）. A．45° B．60° C．120° D．60°或120° 5．下面四个说法：① 如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直； ②过空间一定点有且只有一条直线和已知平面垂直；③垂直同一平面的两条直线互相平行；④经过一个平面的垂线的平面与这个平面垂直. 其中正确的说法个数是（ ）. A.1 B. 2 C. 3 D. 4
6．E是正方形ABCD的AB边中点，将△ADE与△BCE沿DE、CE向上折起，使得A、B重合为点P，那么二面角D-PE-C的大小为 .
7．空间四边形ABCD中，AB=BC，CD=DA，E是AC的中点，则平面BDE与平面ABC的位置关系是 . ※能力提高
8．如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行线，分别交AB、AC于、. 将沿折起到的位置，使点在平面上的射影恰是线段BC的中点M. 试求二面角的大小.
9．如图，棱长为的正方体中，分别为棱和的中点，为棱的中点. 求证：（1）平面；（2）平面平面. ※探究创新
10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB、PC的中点.（1）求证：CD⊥PD； （2）求证：EF∥平面PAD； （3）当平面PCD与平面ABCD成多大角时，直线EF⊥平面PCD？ 第18讲 §2.3.3 线面、面面垂直的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面、面面垂直的有关性质，掌握两个性质定理及定理的应用. ¤知识要点：
1. 线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行. （线面垂直线线平行） 2. 面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. 用符号语言表示为：若，，，，则.（面面垂直线面垂直） ¤例题精讲：
【例1】把直角三角板ABC的直角边BC放置于桌面，另一条直角边AC与桌面所在的平面垂直，a是内一条直线，若斜边AB与a垂直，则BC是否与a垂直？ 解：
注：若BC与a垂直，同理可得AB与a也垂直，其实质是三垂线定理及逆定理，证明过程体现了一种重要的数学转化思想方法： \线线垂直→线面垂直→线线垂直\ 【例2】如图，AB是圆O的直径，C是圆周上一点，PA⊥平面ABC. （1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若D也是圆周上一点，且与C分居直径AB的两侧，试写出图中所有互相垂直的各对平面. 解：（1）证明：∵C是AB为直径的圆O的圆周上一点，AB是圆O的直径， ∴BC⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴BC⊥PA，从而BC⊥平面PAC. ∵ BC 平面PBC， ∴平面PAC⊥平面PBC. （2）平面PAC⊥平面ABCD；平面PAC⊥平面PBC；平面PAD⊥平面PBD；平面PAB⊥平面ABCD；平面PAD⊥平面ABCD.
【例3】三棱锥中，,平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的外心. 证明：连接OA、OB、OC， ∵ 平面ABC， ∴ .
在△PAO、△PBO、△PCO中，, , PO边公共. ∴ . ∴ ,
所以，O为底面△ABC的外心.
点评：若已知三条侧棱与底面所成角相等时，即，按同样的方法\证全等\可以证出. 上述结论对一般棱锥也成立，即棱锥的侧棱均相等或侧棱与底面所成的角均相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心.
【例4】三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角相等，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的内心.
【证】作于D，于E，于F，连接OD、OE、OF. ∵ 平面ABC，∴ ， . 又 ∵ , ∴ . 得 , ∴ 为三个侧面与底面所成的二面角的平面角. 即得， ∵ PO边公共， ∴ ，得 ， 又 ∵ . ∴ O为底面△ABC的内心.
点评：这里用到了证明垂直问题的转化思想，即\线线垂直→线面垂直→线线垂直\上述结论对于一般棱锥也成立，即棱锥的各侧面与底面所成二面角均相等，或棱锥的顶点到底面各边的距离相等，则顶点在底面上的射影为底面多边形的内切圆的圆心. 第18练 §2.3.3 线面、面面垂直的性质 ※基础达标
1．PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A、B的任一点，则下列关系不正确的是（ ）. A. PA⊥BC B. BC⊥平面PAC C. AC⊥PB D. PC⊥BC 2．（1998上海卷）在下列说法中，错误的是（ ）.
A. 若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线，则α⊥β B. 若平面α内任一直线平行于平面β，则α∥β C. 若平面α⊥平面β，任取直线lα，则必有l⊥β D. 若平面α∥平面β，任取直线lα，则必有l∥β 3．给出下列说法：①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α； ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等.
其中正确的两个说法是（ ）. A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④ 4．在中，，AB=8，，PC面ABC，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为（ ）.
A. B. C. D. 5．（04年福建卷.理5）已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列说法： ①若mα，n∥α，则m∥n； ②若m∥α，m∥β，则α∥β； ③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β； ④若m⊥α，m⊥β，则α∥β. 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
6．已知两个平面垂直，给出下列一些说法：①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.
其中正确的说法的序号依次是 .
7．P是△ABC所在平面α外一点，O是P在平面α内的射影. 若P到△ABC的三个顶点距离相等，则O是△ABC的__________心；若P到△ABC的三边的距离相等，则O是△ABC的_______心；若PA,PB,PC两两垂直，则O是△ABC的_______心. ※能力提高
8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中. 求证：（1）B1D⊥平面A1C1B； （2）B1D与平面A1C1B的交点设为O，则点O是△A1C1B的垂心. 9．（1994全国文，23）如图，已知A1B1C1-ABC是正三棱柱，D是AC中点. （1）证明：AB1∥平面DBC1；（2）假设AB1⊥BC1，BC＝2，求线段AB1在侧面B1BCC1上的射影长. ※探究创新
10．在斜三棱柱A1B1C1-ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB1C1C⊥底面ABC.
（1）若D是BC的中点，求证：AD⊥CC1； （2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1⊥侧面BB1C1C； （3）如果截面MBC1⊥平面BB1C1C，那么AM=MA1吗？请你叙述判断理由.
第19讲 第二章 点线面之间的位置关系 复习 ¤学习目标：借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中垂直与平行的判定与性质，能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的命题. ¤例题精讲：
【例1】如图，在棱长为1的正方体中，M、N分别在其面的对角线A1B、AC上运动，且A1M=AN，求MN的最小值. 解：设AN=，作NG⊥AB于G点，连MG. ∵BC⊥AB，∴NG∥BC， 又由A1M= AN可得MG⊥AB， ∴ MG∥B1B. 由等角定理知∠MGN=∠B1BC=90°, ∴ NG=NA=，MG=BM=. ∴ MN2=NG2+MG2=. ∴ 当=时，MN2有最小值，MN有最小值.
【例2】如图，在正方体中，E是的中点，F是AC,BD的交点，求证：． 证明：∵ ，∴ . 又∵，∴ , 得.
取BC中点G，连结， ∴ .