【第16练】 1～5 CAADC； 6. AC⊥BD； 7. ①②③④ 8. 证明：∵ ，∴ . 又∵，∴ , 得.
取BC中点G，连结， ∴ . ∵，∴ . 又∵正方形中，E,G分别为的中点， ∴， ∴ , 得. 又∵， ∴．
9. 解: 平面，过作于，则平面，连，则为直线与平面所成的角. .
在中，． ∴ ． 10. 解：（1）证明：连结A1C1、AC，AC和BD交于点O，连结C1O， ∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC=CD 又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C是公共边，∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B=C1D ∵DO=OB，∴C1O⊥BD，但AC⊥BD，AC∩C1O=O ∴BD⊥平面AC1，又C1C平面AC1，∴C1C⊥BD. （2）由(1)知BD⊥平面AC1，∵A1O平面AC1，∴BD⊥A1C，当=1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC1⊥A1C，又∵BD∩BC1=B，∴A1C⊥平面C1BD.
第17练 §2.3.2 平面与平面垂直的判定
【第17练】 1～5 CBCDC； 6. 60°； 7. 垂直 8. 解：连接AG、GM、A1G. ∵ G是正ΔABC的中心，M是BC的中点， ∴ A、G、M三点共线，且AG:GM=2:1，AM⊥BC. ∵ , ∴,即, , ∴ 为二面角的的平面角. ∵ M是点在平面上的射影，即平面，∴ . 在中，由，得.即二面角的大小是60°. 9. 证明：（1） ∵底面为正方形，∴，又 ，∴. ∵，∴面， 又∵、分别为、的中点， ∴，∴平面. （2）∵为正方形，、分别为所在边的中点， ∴， ∴， ∴ ，又平面， ∴，又∵= ，∴平面. 又∵面，∴平面平面. 10. 解：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，∴PA⊥CD. 又∵ CD⊥AD，CD⊥平面PAD. ∴CD⊥PD. （2）证明：取CD中点G，连EG、FG， ∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD. ∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD. （3）当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD. 证明：G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP. 由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE. 又F是PC的中点，∴EF⊥PC， 由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.
第18练 §2.3.3 线面、面面垂直的性质
【第18练】 1～5 CCDAB； 6. ②④ ；7. 外，内，垂 8. 证明：（1）连接B1D1，则A1C1⊥B1D1. 又有D D1⊥A1C1，∴ A1C1⊥平面B1 D D1，从而A1C1⊥B1D. 同理可证：A1B⊥B1D. ∴ B1D⊥平面A1C1B. （2）连接BO，A1O，C1O. 由B B1⊥A1C1，B1O⊥A1C1，得到A1C1⊥平面B B1O. ∴ A1C1⊥BO. 同理，A1B ⊥C1O，BC1⊥A1O. 故点O是△A1C1B的垂心. 9. 解：（1）证明：由A1B1C1-ABC是三棱柱，∴ 四边形B1BCC1是矩形. 连B1C与BC1交于E，则E为B1C的中点，连DE，D是AC的中点. ∴ ED∥AB1， 又ED平面BDC1，AB1平面BDC1， 所以AB1∥平面BDC1. （2）解：作AF⊥BC，垂足为F. ∵ 面ABC⊥面B1BCC1，∴ AF⊥面B1BCC1. 连B1F，则B1F是AB1在平面B1BCC1内的射影. ∵ BC1⊥AB1 ， ∴BC1⊥B1F. ∵四边形B1BCC1是矩形， ∴∠B1BF＝∠BCC1＝90°， 又∠FB1B＝∠C1BC， ∴△B1BF∽△BCC1. ∴．
又F为正三角形ABC的BC边的中点. 因而B1B2＝BF·BC＝1×2＝2 ，于是B1F2＝B1B2＋BF2＝3 ∴B1F＝， 即线段AB1在平面B1BCC1内的射影长为. 10. 解：（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC. ∵ 底面ABC⊥平面BB1C1C， ∴AD⊥侧面BB1C1C, ∴AD⊥CC1. （2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N. ∵AM=MA1，∴NA1=A1B1。 ∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1。 ∴C1N⊥C1B1. ∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C. ∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C， ∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C. （3）过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C, ∴ME⊥侧面BB1C1C， 又∵AD⊥侧面BB1C1C, ∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面. ∵AM∥侧面BB1C1C，∴AM∥DE. ∵CC1⊥AD，∴DE∥CC1. ∵D是BC的中点，∴E是BC1的中点. ∴AM=DE=AA1，∴AM=MA1.
第19练 第二章 点线面之间的位置关系 复习
【第19练】 1～5 BDCCD； 6. ； 7. ②④
8. 解：在c上截PQ=1，确定平面α. 过Q作QH⊥α于H，过H作HA⊥a于A，HB⊥b于B，连QA、QB. .
易得△QPB≌△QPA△QHB≌△QHA为∠APB的角平分线. ∴ . 即c与a、b所确定的平面α所成角的余弦值为. 9. 解：（1）∵ PA⊥平面 ABCD， ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC，AC平面ABCD， ∴AC⊥PB. （2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点
又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC， ∴PB∥平面 AEC. （3）. 10. 解：（1）过B1C1作底面ABCD的垂直平面，交底面于PQ，过B1作B1G⊥PQ，垂足为G. ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，∠A1B1C1=90°，∴AB⊥PQ，AB⊥B1P. ∴∠B1PG为所求二面角的平面角.过C1作C1H⊥PQ，垂足为H.由于相对侧面与底面所成二面角的大小相等，故四边形B1PQC1为等腰梯形. ∴PG=（b－d）， 又B1G=h， ∴tan∠B1PG=（b＞d）， （2）证明：∵AB，CD是矩形ABCD的一组对边，有AB∥CD， 又CD是面ABCD与面CDEF的交线，∴AB∥面CDEF. ∵EF是面ABFE与面CDEF的交线， ∴AB∥EF. ∵AB是平面ABCD内的一条直线，EF在平面ABCD外， ∴EF∥面ABCD. （Ⅲ）V估＜V. 证明：∵a＞c，b＞d， ∴V－V估==［2cd+2ab+2（a+c）（b+d）－3（a+c）（b+d）］ =（a－c）（b－d）＞0. ∴V估＜V.