6．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 .
7．一个平面把空间分成 部分，两个平面可以把空间分成 部分，三个平面可以把空间分成 部分． ※能力提高
8．A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点， （1）求证：直线EF与BD是异面直线； （2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.
9．已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如右图），求证：（1）对角线AC、BD是异面直线； （2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上.
※探究创新
10．空间四边形ABCD中，P、Q、R、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1）求证：四边形PQRH是平行四边形； （2）若AC=BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（3）若AC⊥BD，则四边形PQRH是什么四边形？
（4）空间四边形ABCD满足什么条件时，PQRH是正方形？ 第12讲 §2.2.1 直线与平面平行的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想\线线平行线面平行\ ¤知识要点：
1. 定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.
2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行. 符号表示为：. 图形如右图所示. ¤例题精讲：
【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：AF∥平面PEC
证明：设PC的中点为G，连接EG、FG. ∵ F为PD中点， ∴ GF∥CD且GF=CD. ∵ AB∥CD， AB=CD， E为AB中点， ∴ GF∥AE， GF=AE， 四边形AEGF为平行四边形. ∴ EG∥AF， 又∵ AF平面PEC， EG平面PEC， ∴ AF∥平面PEC.
【例2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证：EF∥平面BB1D1D.
证明：连接AC交BD于O，连接OE，则OE∥DC， OE=DC. ∵ DC∥D1C1， DC=D1C1 ， F为D1C1的中点，
∴ OE∥D1F， OE=D1F， 四边形D1FEO为平行四边形. ∴ EF∥D1O. 又∵ EF平面BB1D1D， D1O平面BB1D1D， ∴ EF∥平面BB1D1D. 【例3】如图，已知、、、分别是四面体的棱、、、的中点，求证：∥平面. 证明：如右图，连结，交于点，连结， 在中，、分别是、中点， ∴， ∵为中点， ∴为中点， 在中，∵、为、中点， ∴， 又∵平面，平面， ∴∥平面.
点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用.
【例4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点
（1）求证：MN//平面PAD； （2）若，，求异面直线PA与MN所成的角的大小. 解：（1）取PD的中点H，连接AH，由N是PC的中点， ∴ NH. 由M是AB的中点， ∴ NHAM， 即AMNH为平行四边形. ∴ . 由， ∴ .
（2） 连接AC并取其中点为O，连接OM、ON， ∴ OMBC，ONPA，
所以就是异面直线PA与MN所成的角，且MO⊥NO. 由，, 得OM=2，ON=
所以，即异面直线PA与MN成30°的角
点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角，方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得. 第12练 §2.2.1 直线与平面平行的判定 ※基础达标
1．已知直线、, 平面α, ∥, ∥α, 那么与平面α的关系是（ ）. A. ∥α B. α C. ∥α或α D. 与α相交
2．以下说法（其中a，b表示直线，?表示平面） ①若a∥b，b??，则a∥? ②若a∥?，b∥?，则a∥b ③若a∥b，b∥?，则a∥? ④若a∥?，b??，则a∥b 其中正确说法的个数是（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 3．已知a，b是两条相交直线，a∥?，则b与?的位置关系是（ ）. A. b∥? B. b与?相交 C. bα D. b∥?或b与?相交
4．如果平面?外有两点A、B，它们到平面?的距离都是a，则直线AB和平面?的位置关系一定是（ ）.
A. 平行 B. 相交 C. 平行或相交 D. AB??
5．如果点M是两条异面直线外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面（ ）. A. 只有一个 B. 恰有两个 C. 或没有，或只有一个 D. 有无数个
6．已知P是正方体ABCD-A1B1C1D1棱DD1上任意一点，则在正方体的12条棱中，与平面ABP平行的是 .
7．过三棱锥A-BCD的棱AB、BC、CD的中点M、N、P作平面MNP，三棱锥的六条棱中与平面MNP平行的是 ；若AC与BD成90°角，AC=6，BD=8，则截面四边形的面积是 . ※能力提高
8．平面?与△ABC的两边AB、AC分别交于D、E，且AD∶DB=AE∶EC，求证：BC∥平面?. 9．P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点. （1）求证：EO‖平面PCD ； （2）图中EO还与哪个平面平行？ ※探究创新
10．三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的重心，且到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍. 这一结论叫做三角形的重心定理.
在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，在四面体的四个面中，与MN平行的是哪几个面？试证明你的结论. 第13讲 §2.2.2 平面与平面平行的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想. ¤知识要点：
面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：. ¤例题精讲：
【例1】如右图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面MNP∥平面A1BD. 证明：连结B1D1，∵P、N分别是D1C1、B1C1的中点，∴ PN∥B1D1. 又B1D1∥BD，∴PN∥BD. 又PN不在平面A1BD上，∴PN∥平面A1BD. 同理，MN∥平面A1BD. 又PN∩MN=N， ∴平面PMN∥平面A1BD. 【例2】正方体ABCD-A1B1C1D1中．（1）求证：平面A1BD∥平面B1D1C； （2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD． 证明：（1）由B1BDD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD， 又BD ?平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C． 同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD． （2）由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G． 从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF． ∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．
【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM：MA=BN：ND=PQ：QD. 求证：平面MNQ∥平面PBC.
证明： PM：MA=BN：ND=PQ：QD. ∴ MQ//AD，NQ//BP，
而BP平面PBC，NQ 平面PBC, ∴ NQ//平面PBC. 又ABCD为平行四边形，BC//AD， ∴ MQ//BC， 而BC平面PBC，MQ 平面PBC, ∴ MQ//平面PBC. 由MQNQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， ∴ 平面MNQ∥平面PBC.
点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平面后，转化为面面平行. 一般证\面面平面\问题最终转化为证线与线的平行.
【例4】直四棱柱中，底面ABCD为正方形，边长为2,侧棱，M、N分别为A1B1、A1D1的中点，E、F分别是B1C1、C1D1的中点. （1）求证：平面AMN∥平面EFDB；（2）求平面AMN与平面EFDB的距离. 证：（1）连接,分别交MN、EF于P、Q. 连接AC交BD于O，连接AP、OQ. 由已知可得， ∴ . 由已知可得，且. ∴ , ∴ . ∴平面AMN∥平面EFDB. 解：（2）过作平面AMN与平面EFDB的垂线，垂足为H、H'，易得. 由, 根据, 则
，解得. 所以，平面AMN与平面EFDB的距离为.
点评：第（1）问证面面平行，转化途径为\线线平行→线面平行→面面平行\第（2）问求面面距离，巧妙将中间两个平面的距离，转化为平面另一侧某点到平面距离的比例，然后利用等体积法求距离. 等价转化的思想在本题中十分突出，我们可以用同样的转化思维，将此例中的两个平面的距离，转化为求点B到平面AB'C的距离. 第13练 §2.2.2 平面与平面平行的判定 ※基础达标
1．下列说法正确的是（ ）.
A. 一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任一条直线平行 B. 平行于同一平面的两条直线平行
C. 如果一个平面内的无数条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行 D. 如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 2．在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）. A. α、β都平行于直线l
B. α内存在不共线的三点到β的距离相等 C. l、m是α内两条直线，且l∥β，m∥β D. l、m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β 3．下列说法正确的是（ ）.
A. 垂直于同一条直线的两条直线平行 B. 平行于同一个平面的两条直线平行 C. 平行于同一条直线的两个平面平行 D. 平行于同一个平面的两个平面平行 4．经过平面外的两点作该平面的平行平面可以作（ ）. A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 1个或2个
5．不在同一直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且Aα，则（ ）. A. α∥平面ABC B. △ABC中至少有一边平行于α
C. △ABC中至多有两边平行于α D. △ABC中只可能有一条边与α平行
6．已知直线a、b，平面α、β, 且a// b，a//α，α//β，则直线b与平面β的位置关系为 . 7．已知a、b、c是三条不重合直线，?、?、?是三个不重合的平面，下列说法中： ⑴ a∥c，b∥ca∥b； ⑵ a∥?，b∥?a∥b； ⑶ c∥?，c∥??∥?； ⑷ ?∥?，?∥??∥?； ⑸ a∥c，?∥ca∥?； ⑹ a∥?，?∥?a∥?. 其中正确的说法依次是 . ※能力提高
8．在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G，M，N，Q分别是棱A1A，A1B1，A1D1，CB，CC1，CD的中点，求证：平面EFG∥平面MNQ. 9．两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，过M作MH⊥AB于H，求证：（1）平面MNH//平面BCE；（2）MN∥平面BCE. ※探究创新
10．P是所在平面外一点，分别是的重心， （1）求证：平面; (2)求. 第14讲 §2.2.3 直线与平面平行的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握\线线\线面\平行的转化. ¤知识要点：
线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行. 即：. ¤例题精讲：
【例1】经过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面AA1D1D于E1E，求证：E1E∥B1B 证明：∵ ， ∴ . 又 ， ∴ . 则.
【例2】如图，，，，，求证：. 证明：连结， ∵， ∴直线和可以确定一个平面，记为， ∵，，∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴ 四边形为平行四边形， ∴.
【例3】如右图，平行四边形EFGH的分别在空间四边形ABCD各边上，求证：BD//平面EFGH.