证明：∵ ,平面，平面， ∴ . 又 ∵ ，, ∴ . 又 ∵ ,, ∴ .
点评：转化思维链是\由已知线线平行→线面平行→线线平行→线面平行\此题属于教材（必修②人教A版）中第64页的3题的演变, 同样还可证平面. 【例4】已知直线∥平面α，直线∥平面β，平面α平面β=，求证． 证明：经过作两个平面和，与平面α和β分别相交于直线和， ∵ ∥平面α，∥平面β， ∴∥，∥， ∴∥， 又 ∵平面β，平面β， ∴∥平面β，
又 平面α，平面α∩平面β=， ∴ ∥， ∵∥， ∴ ∥．
点评：利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到a∥b的目的，这里借用已知条件中的a∥α及a∥β来实现．证线线平行，可由公理4进行平行传递，也可以由线面平行的性质及后面的面面平行的性质得到线线平行. 这里采用作辅助平面，利用线面平行的性质得到线线平行. 第14练 §2.2.3 直线与平面平行的性质 ※基础达标
1．已知直线l//平面α，m为平面α内任一直线，则直线l与直线m的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 异面 C. 相交 D. 平行或异面
2．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（ ）.
A. 平行 B. 平行和异面 C. 平行和相交 D. 异面和相交
3．一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）.
A. 异面 B. 相交 C. 平行 D. 不能确定
4．若直线、b均平行于平面α，则与b的关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或相交或异面
5．已知l是过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点的平面AB1D1与下底面ABCD所在平面的交线，下列结论错误的是（ ）. A. D1B1∥l B. BD//平面AD1B1 C. l∥平面A1D1B1 D. l⊥B1 C1
6．已知正方体的棱长为1，点P是的面的中心，点Q是面的对角线上一点，且平面，则线段的长为 .
7．设不同的直线a,b和不同的平面α，β，γ，给出下列四个说法： ① a∥α，b∥α，则a∥b； ② a∥α, a∥β, 则α∥β； ③α∥γ，β∥γ，则α∥β；④ a∥b,bα,则a∥α. 其中说法正确的序号依次是 . ※能力提高
8．如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形. （1）求证：CD∥平面EFGH；（2）如果AB⊥CD，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH的面积.
9．如右图，直线和是异面直线，，，，，求证：. ※探究创新
10．如下图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1、B、M三点的平面A1BMN交C1D1于点N. （1）求证：EM∥平面A1B1C1D1； （2）设截面A1BMN把该正四棱柱截成两个几何体的体积分别为V1、V2（V1＜V2，求V1∶V2的值.
第15讲 §2.2.4 平面与平面平行的性质 ¤学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握\线线\线面\面面\平行的转化. ¤知识要点：
1. 面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行. 用符号语言表示为：. 2. 其它性质：①； ②； ③夹在平行平面间的平行线段相等. ¤例题精讲：
【例1】如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，M、N分别是AB、CD的中点，且A、C∈α，B、D∈β. 求证：MN∥α.
证明：连接BC，取BC的中点E，分别连接ME、NE， 则ME∥AC，∴ ME∥平面α， 又 NE∥BD， ∴ NE∥β， 又ME∩NE=E，∴平面MEN∥平面α， ∵ MN平面MEN，∴MN∥α.
【例2】如图，A，B，C，D四点都在平面?，?外，它们在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点，在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上，求证：ABCD是平行四边形． 证明：∵ A，B，C，D四点在?内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上， ∴A，B，C，D四点共面．
又A，B，C，D四点在?内的射影A1，B1，C1，D1是平行四边形的四个顶点， ∴平面ABB1A1∥平面CDD1C1． ∴AB，CD是平面ABCD与平面ABB1A1，平面CDD1C1的交线． ∴AB∥CD． 同理AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形．
【例3】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，E、F、G是侧面对角线上的点，且，求
证：平面EFG∥平面ABC.
证明：作于P，连接PF. 在正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面中，易知，又，所以. ∴ ，平面ABC. 又∵ ，， ∴ ，∴ ，则平面ABC. ∵ ，∴ 平面PEF//平面ABC. ∵ 平面PEF， ∴ EF//平面ABC. 同理，GF//平面ABC. ∵ ，∴ 平面EFG//平面ABC.
点评：将空间问题转化为平面问题，是解决立体几何问题的重要策略，关键在于选择或添加适当的平面或线，并抓住一些平面图形的几何性质，如比例线段等. 此题通过巧作垂线，得到所作平面与底面平行，由性质易得线面平行，进而转化出待证的面面平行，突出了平行问题中转化思想.
【例4】如图，已知正方体中，面对角线，上分别有两点E、F，且. 求证：EF∥平面ABCD.
证明：过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N，连接MN. ∵ BB1⊥平面ABCD， ∴BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴ EM∥BB1，FN∥BB1， ∴EM∥FN， ∵ AB1=BC1，B1E=C1F，∴AE=BF， 又∠B1AB=∠C1BC=45°， ∴ Rt△AME≌Rt△BNF，∴EM=FN. ∴ 四边形MNFE是平行四边形，∴EF∥MN. 又MN平面ABCD，∴EF∥平面ABCD. 证法二：过E作EG∥AB交BB1于G，连接GF， ∴，，，∴， ∴FG∥B1C1∥BC. 又∵EG=G，ABBC=B，∴平面EFG∥平面ABCD. b又EF平面EFG，∴EF∥平面ABCD.
点评：在熟知线面平行、面面平行的判定与性质之后，空间平行问题的证明，紧紧抓住\线线平行线面平行面面平行\之间的互相转化而完成证明. 第15练 §2.2.4 平面与平面平行的性质 ※基础达标
1．下列说法正确的是（ ）.
A. 如果两个平面有三个公共点，那么它们重合
B. 过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行 C. 在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行 D. 如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行 2．已知∥， 则在内过点B的所有直线中（ ）.
A．不一定存在与平行的直线 B．只有两条与平行的直线 C．存在无数条与平行的直线 D．存在唯一一条与平行的直线 3．下列说法正确的是（ ）.
A. 直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行
B. 经过两条平行线中一条有且只有一个平面与另一条直线平行 C. 经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行 D. 经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行
4．在正方体中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（ ）. A. B. C. D.
5．已知平面平面，是外一点，过点的直线与分别交于点，过点的直线与分别交于点，且，，，则的长为（ ）.
A. B. 或 C. D. 6．已知平面α∥β，，有下列说法：① a与β内的所有直线平行；② a与β内无数条直线平行；③ a与β内的任意一条直线都不垂直. 其中正确的序号依次是 . 7．设平面α∥β，A、C∈α，B、D∈β，直线AB与CD交于S，若AS=18，BS=9，CD=34，则SC=_ . ※能力提高
8．如图，设平面α∥平面β，AB、CD是两异面直线，且A、C∈α，B、D∈β，AC⊥BD，AC=6，BD=8. M是AB的中点，过点M作一个平面γ，交CD与N，且，求线段MN的长.
9．已知平面，且，，求证：． ※探究创新
10．如图甲，在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水，固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法： ①水的部分始终呈棱柱状； ②水面四边形EFGH的面积不改变； ③棱A1D1始终与水面EFGH平行； ④当容器倾斜如图乙时，EF·BF是定值. 其中正确说法的序号是_____________.
第16讲 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 ¤学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理证明直线与平面垂直的关系. 掌握线面角的定义及求解. ¤知识要点：
1. 定义：如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，则直线与平面互相垂直，记作. －平面的垂线，－直线的垂面，它们的唯一公共点叫做垂足.（线线垂直线面垂直）
2. 判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直. 符号语言表示为：若⊥，⊥，∩＝B，?，?，则⊥
3. 斜线和平面所成的角，简称\线面角\，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为\作（作出线面角）→证（证所作为所求）→求（解直角三角形）\通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线是产生线面角的关键. ¤例题精讲：
【例1】四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面. 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点，∴，. 又∴，∴在中，， ∴，∴，又，即，， ∴平面.
【例2】已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，求直线AE
与平面ABC1D1所成的角的正弦值.
解：取CD的中点F，连接EF交平面于O，连AO. 由已知正方体，易知平面，所以为所求. 在中，，， .
所以直线AE与平面所成的角的正弦值为. 【例3】三棱锥中，，平面ABC，垂足为O，求证：O为底面△ABC的垂心. 证明：连接OA、OB、OC，∵ 平面ABC， ∴ . 又 ∵ ， ∴ ，得, ∴ O为底面△ABC的垂心.
点评：此例可以变式为\已知，求证\，其思路是接着利用射影是垂心的结论得到后进行证明. 三条侧棱两两垂直时，也可按同样的思路证出.
【例4】已知，斜边BC//平面， AB，AC分别与平面成30°和45°的角，已知BC=6，求BC到平面的距离.
解：作于，于，则由，得 ，且就是BC到平面的距离， 设，连结，则， ∴， 在中，，∴，∴，即BC到平面的距离为．
点评：由直线与平面的平行，直接作平面的垂线段即为线面距离. 此题通过两条垂线段把所已知的线面角同时作出，利用解直角三角形的知识和方程思想容易解决问题. 第16练 §2.3.1 直线与平面垂直的判定 ※基础达标
1．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）. A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC 2．若直线平面，直线，则（ ）.
A． B．l可能和m平行 C．l和m相交 D． l和m不相交
3．在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现沿SE、SF、 EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合为点G，则有（ ）. A. SG⊥面EFG B. EG⊥面SEF C. GF⊥面SEF D. SG⊥面SEF 4．直线a⊥直线b，b⊥平面，则a与β的关系是（ ）. A．a⊥ B. a∥β． C． D．a或a∥ 5．（04年湖南卷.理4文5）把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）. A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 6．在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件 时，有A1C⊥B1D1（注：填上你认为正确的一种即可，不必考虑所有可能的情形）. 7．设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下说法： ①若，，则是垂心； ②若两两互相垂直，则是垂心； ③若，是的中点，则； ④若，则是的外心. 其中正确说法的序号依次是 . ※能力提高