习题2.1
1． 已知质点做直线运动的运动方程为s?t2?3，求该质点在t?5时的瞬时速度. 解：因为 s??t??2t，所以，v?5??s??5??2?5?10. 2． 若limf?x??f?a?x?ax?a，试判断下列命题是否正确. ?A（A为常数）
（1）f?x?在x?a处可导； （2）f?x?在x?a处连续. 解：
（1）因为f??a??limf?x??f?a?x?ax?a?A，所以，f?x?在x?a处可导，命题正确；
（2）因为可导必连续，故f?x?在x?a处连续，命题正确. 3．利用导数定义求下列函数在指定点的导数.
3（1）y?x,x0?1； （2）y?2x?1,x0?1；
（3）y?cosx,x0?解：
（1）f??1??lim（2）f??1??lim?2； （4）y?1x,x0?2.
f?x??f?1?x?1f?x??f?1?x?1x?1?limx?1x?13x?1?lim?x?1??x2?x?1x?1x?1?lim2?x?1?x?1??lim?xx?12?x?1?3；
?x?1?lim?2x?1??3x?1x?1x?1?2；
???（3）f????lim?2?x?????f?x??f???2?x??2?limx?cosxx??2?2?limx????sin??x??2?x???lim2x??x?2?2?22x??2??1；
1（4）f??2??lim
f?x??f?2?x?2x?2112?x??lim??. ?limx2?limx?22xx?2x?2x?22x?x?2?4?1?x2,x?1,4．讨论f?x???在点x?1处的连续性与可导性.
?2x,x?1,解：
（一） limf?x??limx?1；
2x?1?x?1?1
limf?x??lim2x?2.
x?1?x?1? 因为 limf?x??limf?x? ，因此f?x?点x?1处无极限，从而也不连续.
x?1?x?1?（二） 因为连续是可导的必要条件，所以，f?x?点x?1处不可导. ?x,x?0,1?5．讨论f?x???在点x?0处的连续性与可导性.
1?ex?x?0,?0,解：
x?（一）limf?x??limx?0?x?01?01?0?0；lim?f?x??lim?x.x?0e?1x?1x?0?01?0?0，
1?ex??x?01?e因为limf?x??limf?x??f?0?，故f?x?点x?0处连续.
x?0x?0（二）f???0??limf?x??f?0??x?0x?0?lim?x?011?11?01x??1；
1?ex f???0??limf?x??f?0??x?0x?0?lim?x?011?e?1x?01?0?0.
1?ex1?e因为f???0??f???0?，所以，f?x?点x?0处不可导. 6．已知f??3??2，求极限lim解：limf?3?h??f?3?2h??f?3?h??f?3?.
2hf?3???h???f?3??hh?012h?0limh?0??12f??3???1.
?2,x?1,?7．设f?x???1?x2已知函数点x?1处可导，试确定a,b的值.
?ax?b,x?1,?解：（一）因为可导必连续，所以f?x?在x?1处连续，即
limf?x??limf?x??f?1? ①
x?1?x?1?其中 f?1??1；
lim?f?x??lim?x?1x?1??21?x2?1；
limf?x??lim?ax?b??a?b.
x?1x?12
所以，有
a?b?1. ② （二）因为以f?x?在x?1处可导，所以，应满足f???1??f???1?.
2其中，f???1??limf?x??f?1??x?1x?1?lim?1?xx?1x?1??lim?x?12?1
??1；
?lim?x?11?x21?x1?x2?x?1??1?x2?f?x??f?1?x?1x?1f???1??lim?x?1?lim?x?1?ax?b??1x?1（由②）
?a?lim?x?1a?x??1?a???1??lim?x?1a?x?1?1?x2.
所以，a??1,b?2.
8．证明：
（1）可导的奇函数的导数为偶函数； （2）可导的偶函数的导数为奇函数；
（3）可导的周期函数的导数为具有相同周期的周期函数. 证明：
（1）设奇函数f?x?处处可导.在点x处由导数定义有 f??x??lim ?limf?x??x??f?x??x?xf??x??x??f??x??xf???x?????x???f??x???x?x?0（因为f?x?为奇函数）
??f??x??x?????f??x??
?x?0 ?lim??x?0 ?lim?x?0
?f???x?
即证明了对于任意点x，有 f???x??f??x?，所以，f??x?为偶函数. （2）设偶函数f?x?处处可导.在点x处由导数定义有 f??x??lim ?limf?x??x??f?x??x?0?xf??x??x??f??x??xf??x（因为f?x?为偶函数）
?x?0 ??lim???x?????x???f??x??x?0 ??f???x?
3
即证明了对于任意点x，有 f???x???f??x?，所以，f??x?为奇函数. （3）设以T为周期的函数f?x?处处可导.在点x处由导数定义有 f??x?T??lim ?limf?x?T??x??f?x?T?x?x??x?0（因为f?x?为周期函数）
f?x??x??f?x??x?0
??f??x?
即证明了对于任意点x，有 f??x?T??f??x?，所以，f??x?也是以T为周期的函数. 9．设f?0??0,f??0?存在，求lim. 2tanxf?1?cosx?f?0??1?cosx???f?0?1?cosx?lim.解：lim 22x?0x?0tanx1?cosxtanxx?0f?1?cosx? ?limf?0??1?cosx???f?0?1?cosx11 ?f??0???f??0?.
22x?0.lim1?cosxtanx2x?0
1其中 lim
f?0??1?cosx???f?0?1?cosxx?0?f??0? ；lim1?cosxtanx2x?01（等价替换）?lim22?.
x?02xx2习题2.2
1． 求下列函数的导数.
2（1）.y?4x?3x?1； （2）. y?2x?51x?sinx；
（3）. y?x4lnx； （4）. y?sinx?x?1；
（5）.y?2cosx?3x； （6）. y?2?3；
xx（7）. y?log2x?x2； （8）. y?x?lnx?1；
x2（9）.y?e?x?1?cosx； （10）. y?1?x1?x.
解：
（1）.y??4?x2???3?x????1???8x?3；
5（2）. y??2?x????1??4?????sinx??2?5x???x?1????2???cosx? ?x?4
?10x?41x2??cosx?； ?1（3）.y???x4?lnx?x4?lnx???4x3lnx?x4.?4x3?lnx?1?；
x（4）.y???sinx????x????1???cosx?1?0?cosx?1；
（5）.y??2?cosx??3?x???2sinx?3；
??（6）. y???2x???3x??2xln2?3xln3； （7）. y???log2x???x2????1xln2?2x??；
（8）. y???x????lnx????1??；
???（9）.y???ex??x2?1?cosx?ex?x2?1?cosx?ex?x2?1??cosx?
?e?ex?x?x2?1cosx?2xecosx?sinxe?1?cosx?sinx??2xecosxx?xx?x2?1?
x2?；
（10）.
??1?x???1?x???1?x??1?x??2?1?x?y?????.； ??22?1?x??1?x??1?x?2． 求下列函数的导数.
（1）.y?4?x?1???3x?1?； （2）. y??1?2x?；
227（3）. y?lnlnx； （4）. y?lnsinex；
（5）.y?2ln1x； （6）. y?arctan2x；
?x?2?（7）. y?e?3xsin2x； （8）. y?lntan?（9）.y?sinln2x?12???；
4?22； （10）. y?lnx??x?a.； 1?x；
2?（11）.y?arcsin?sin??x?； （12）.
1??； x?y?arccosx（13）. y?ln?arccos2 （14）. y?a?x1?x1?x2322；
（15）.y?sinx2sinx； （16）. y?3；
5