解：①两边取对数，得
y?lnx?f?y? ② ②式两边关于x求导，得 y??1x?f??y?.y?
即 xy??1?xf??y?.y? ③ 由③式解得
y??1x?1?f??y?? 所以
y?????1???x?1?f??y?????x?1?f??y???????x?1?f??y???2 ???1?f??y???x?0?f???y?y??1?f??y??xy?f???y?x2?1?f??y??2??x2?1?f??y??2（将④代入）1?f??y??x.1x?1?f??y??.f???y? ??x2?1?f??y??2
???1?f??y??2?f???y?x2?1?f??y??3.
7．设y?1?n?x2?2x?3，求y.
解：y?1?x?1??x?3??1?11?14???x?1x?3????x?1??1??x?3?4??1?. y??14???1?.?x?1??2???1??x?3??2?；
y???14???1?.??2?.?x?1??3???1?.??2?.?x?3??3?；
归纳可得 y?n??1???1?.??2????n??x?1??n?1???1?.??2?.???n??x?3??n?14?
???1?nn!?14?n??1???x?1?1?x?3?n?1?. ?8．设y??1?x2?cosx，求y?n?.
9．设f?x?具有任意阶导数，且f??x???f?x??2.，求f?n??x??n?2?.
21
④
证明：因为f??x???f?x??2，
所以 f???x??2f?x?.f??x??2.1.?f?x??3； f????x??3.2.1?f?x??2.f??x??3!?f?x??4；
??归纳可得：f?n??x??n!?f?x??n?1.
复习题2
1. 设??x?在x?a处连续，试讨论f?x???x?a???x?与g?x??x?a??x?在x?a处的可导性. 解：
（一）因为limf?x??f?a?x?ax?a?lim?x?a???x?x?ax?a?lim??x????a?，所以，f?x?在x?a处
x?a可导，且f??a????a?.
??a??lim（二）g?g?x??g?a??x?ax?ag?x??g?a?x?a?lim??x?a???x?x?ax?a??lim??x?????a?；
x?a??a??lim g?x?a??lim?x?a???x?x?ax?a?lim??x?????a?.
x?a??a??0，所以，g?x?在x?a处可导，且g??a??0；??a??g?（1）当??a??0时，因为g? ??a??g???a?，所以，g?x?在x?a处不可导. （2）当??a??0时，因为g?2．设f?0??0，f??0?存在，求limf?1?cosx?2tanxf?1?cosx?f?0??1?cosx???f?0?1?cosx?lim.解：lim 22x?0x?01?cosxtanxtanxx?0.
?limf?0??1?cosx???f?0?1?cosx12?12f??0?.
x?0.lim1?cosxtanx2x?0
?f??0??1其中 limf?0??1?cosx???f?0?1?cosxx?0?f??0? ；limf?x?x1?cosxtanx2x?01（等价替换）?lim22?.
x?02xx23．若函数f?x?在点x?0处连续，且lim证明： 设limf?x?xx?0存在，证明f?x?在点x?0处可导.
x?0?A ①
.limf?x??A?0?0. ② 则 limf?x??lim?.x??limx?0x?0x?0x?0x?x?22
?f?x??f?x?
又因为f?x?在点x?0处连续，故 f?0??limf?x??0. ③
x?0所以 f??0??limf?x??f?0?x?0x?0 ?limf?x?xx?0?0.
4．设曲线y?f?x?在原点与曲线y?sinx相切，求limx????2?xf??. ?x?解：因为曲线y?f?x?在原点与曲线y?sinx相切，故
f?0??0 ① 且
?f??0???sinx?|x?0?cosx|x?0?1 ②
?2?f???f?0??x?.2?2xx???lim?2?xf???limx????x??2?f???f?0??x?2?2xx???lim2f??0??2.
5．设函数f?x?在???,???内有定义，f?x??0，f??0??1，且对任意x,y????,???，恒有f?x?y??f?x?.f?y?①成立，证明f?x?在???,???内可导，且f??x??f?x?. 证明：
（一）①中,取x?y?0，得 f?0??f所以f?0??1.
2?0?，故 f?0??1 或f?0??0.又因为f?x??0，
（二）由导数定义，对x????,???，
f??x??lim?limf?x??x??f?x??xf?x?.?f??x??1??x?0
?x?0 ?f?x?.lim?xf?0??x??f?1??x
?x?0?f?x?.f??0??f?x?.
?1?cosax,x?0,?x??x?0,在在???,???内处处可导，并求f??x?. 6．求a,b的值，使函数f?x???0,?2lnb?x?,x?0.?x???解：（一）因为可导必连续，所以f?x?在x?0处连续，即
23
limf?x??limf?x??f?0?.----------------------（1）
x?0?x?0?1 其中，limf?x??limx?0?1?cosaxxln?b?xx2x?0??lim2x?0?ax?x2?0；
所以，limf?x??limx?0??x?0??lim?fx?0?x??0.
因此，必有，limln?b?x2??lnb?0?b?1；
x?0（二）因为以f?x?在x?0处可导，所以，应满足： f???0??f???0?.
1?cosax其中，f???0??limx?0f1?x??f?0?x?0??lim?x?0xx?0
?lim1?cosxx2x?0?lim2x?0?ax?x22?12a;
2f???0??lim?x?0f?x??f?0?x?0?limln?b?xx22?x?0?limln?1?xx22?x?0?1.
所以，
a22?1?a??2. ??xsin2x?1?cos2x,x?0,2?x?且：f??x???1,x?0,.
?2222x?1?xln1?x?????,x?022?x?1?x??7．设f?x??3x?xx，试求f323??2x,x?0,解： f?x???3??4x,x?0.?n??0?存在的最高阶数n.
（一）f??0??limf?x??f?0?x?0x?0 ?lim3x?xxx32?lim3x?xx?0；
x?0x?0?2?2??6x,x?0, f??x???2??12x,x?0.
24
（二）f????0??limf??x??f??0??x?0x?0 ?limx?06x?0?2x?02?lim?6x?0；
x?0 f????0??limf??x??f??0??x?0x?0 ?limx?012x?0?x?0?lim?12x?0.
x?0 故 f???0??0. f???x????12x,x?0,?24x,x?0.
12x?0?（三）f?????0??lim f????0??limf???x??f???0??x?0x?0f???x??f???0?x?0?n? ?limx?0x?0? ?limx?0x?024x?0x?0?12；
??24..
故 f????0?不存在.所以求f?0?存在的最高阶数n?2.
22?dy?x?3t?2t?3,8．设y?y?x?由方程?所确定，求. 2|t?0ydx??esint?y?1?0,解：（将方程中x,y均视为t的函数），对所给方程两边关于t求导，得：
?dx?6t?2?21t?3??????????dt ?dyydyy?sinte?ecot?s???0??dtdt?(1)------------（*）
(2).由（2）式，得：
dydt?ecost1?eyysitn?eycots????(3) ?2y由（1）、（3）式得：
y??dydxy?dydt
?ecostdx?dt2?1?3?t??2cots2?1?t3?y???(4)y?2?ye
y?????????????(5)（5）式两端关于x求导，得：
?y?e?ey??2?y?yye2yy??2?yeyy????1?sitn??1t?323tcdtosdx?1?3t?32，
即：?3?yeyy??22?yeyy????1?1?3t?sint?3cost4?1?3t???????(6).
25