所以曲线对应t??4处点的切线方程为
?2??，即 y??22x?2. y??22?x??2???曲线对应t??4处点的法线方程为
?2??x??，即 ?2??22??1 y?? y?122x?14.
5．求曲线x2?xy?y2?4 ①在点?2,?2?处的切线方程与法线方程. 解：方程①两边对自变量x求导，有 2x??y?xy???2yy??0，即
?x?2y?y??所以 y????2x?y.
.
2x?yx?2y曲线在点?2,?2?的切线斜率为k?y?|?2,?2??1. 所以，曲线在点?2,?2?的切线方程为 y?2?1.?x?2?.即 y?x?4. 曲线在点?2,?2?的法线方程为
y?2??1.?x?2?.即 y??x. 6．求下列函数的导数. （1）y?x?3；
?3?x,x?3,?解：（1）y??0,x?3,
?x?3,x?3.?当x?3时，y??(3?x)???1； 当x?3时，y??(x?3)??1； 当x?3时，
??3??limy??x?3f?x??f?3?x?3?lim?x?3?3?x??0x?3??1；
16
??3??lim y?f?x??f?3??x?3x?3?lim?x?3?x?3??0x?3?1.
??3??y???3?，故y??3?不存在. 因为y?x?3,??1,?所以，y??不存在,x?3,
?1,x?3.??x3?2x2,x?0,?（2） y??2x2?x3,0?x?2,；
?32x?2x,x?2.?当x?0时，y??(x3?2x2)??3x2?4x； 当0?x?2时，y??(2x2?x3)??4x?3x2； 当x?2时，y??(x3?2x2)??3x2?4x.
??0??limy??x?0f?x??f?0?x?0f?x??f?0?x?0?lim?x?0x?2xx2x?xx232?0；
3??0??limy??x?0?lim?x?0?0.
??0??y???0??0，故y??0??0. 因为y???2??limy??x?2f?x??f?2?x?2f?x??f?2?x?2?lim?x?22x?xx?223?lim?x?2x2?2?x?x?2??4；
??2??limy??x?2?lim?x?2x?2xx?232?lim?x?2x2?x?2?x?2?4
??2?，故y??2?不存在. ??2??y?因为y??3x2?4x,x?0,?2?4x?3x,0?x?2所以，y???
?不存在，x?2,?3x2?4x,x?2.?1?xarctan,x?0,? f?x???x?0,x?0.?（3）
17
解：当x?0时
??11y??(xarctan)??arctan?x??xx?1???arctan??0??limy??x?0??1?1??.?2? 2??1??x??????x??1x1?xf?x??f?0?x?0?x2；
1x1x????lim?arctanx?0?2；
??0??limy??x?0f?x??f?0?x?0?lim?arctanx?0?2??0??y???0?，故y??0?不存在. ，因为y?所以，
1x??,x?0,?arctan2? f?x???x1?x?不存在,x?0.??xe?x,x?0,（4）f?x???
?ln(1?x),x?0.解：当x?0时，y??(xe?x)??e?x?xe?x??1?x?e?x；
当x?0时，y??(ln?1?x?)????0??limy??x?011?x.
?1；
f?x??f?0?x?0f?x??f?0?x?0?lim?x?0xe?xx??0??limy??x?0?lim?x?0ln?1?x?x?1.
??0??y???0??1，故y??0??1.所以 因为y????1?x?e?x,x?0,?x?0, f??x???1,?1?,x?0.?1?x习题2.4
6． 设k为常数，求下列函数的n阶导数.
（1）y?e； （2）y?sinkx； （3）y?coskx；（4）y?a. 解：（1）y???ekxkxkx???e?kx???kekxkxkxkx； ekxy???ke18
????k?ke??k2；
归纳可得 y?n??knekx.
（2）y???sinkx??coskx?kx??kcoskx；
??2y???k?coskx??k???sinkx??kx????ksinkx；
????y????ky?4?2???sin3??23kx???k?coskx?kx????kcoskx；
??????34kx???k??sinkx?kx???ksinkx.
??????k?cos 归纳可得 y?n??knsin?kx???n???. 2???n???. 2?（3）类似于（2）的求法，y?n??kncos?kx???（4）y???akx??akxlna.?kx??klna.akx；
y???klnaa????klna.?klna.a??kkxkx2.lna.a2kx；
归纳可得 y?n??knlnna.akx.
2．设y?a0?a1?x?x0??a2?x?x0??a3?x?x0????an?1?x?x0?23n?1?an?x?x0?
n，求函数在点x0处的各阶导数. 解：
y??0?a1?2a2?x?x0??3a3?x?x0?????n?1?an?1?x?x0?2n?2?nan?x?x0?n?1
所以，y??x0??a1；
y???2.1a2?3.2a3?x?x0?????n?1??n?2?an?1?x?x0?所以，y???x0??2!a2；
y????3.2.1a3????n?1??n?2??n?3?an?1?x?x0?n?4n?3?n?n?1?an?x?x0?n?2；
?n?n?1??n?2?an?x?x0?n?3；
所以，y????x0??3!a3； 归纳可得 yy?k??x0??k!ak(k?1,...n,)
?n).
?k??x0??0.(k23．已知y?ln?1?x19
?，求y???0?.
解：y??11?x2?1?x???22x1?x2；
?2221?x?2x.2x21?x?2x? y????； ???22222?1?x?1?x1?x???????? 所以，y???0??2.
1?x?t?,2?dy?t4．求由方程??t?0?确定的函数的二阶导数2. 2dx?y?t?lnt,?2?解： （一）
dydt?t?1t?1?tt?2；
dydtdxdtdxdt?1?1t2?1?tt22.
所以
dydx22dydx?t.
2（二）
d?dy?dt1t???. ???2dxdx?dx?dx1?tdt125．求由方程x?y?siny?0 ①所确定的隐函数的二阶导数
dydx22.
解：（一）①式两边关于x求导，得 1???dydx?12cosy.dydx?0
即 ?1?dydx21?dycosy?.?1 2?dx所以 ?1?112cosy?22?cosy. ②
（二）
dydx2?d?dy?d2() ???dx?dx?dx2?cosy ?ddy2?cosy4siny(2).dydx??2siny?2?cosy?2.22?cosy
???2?cosy?y3.
6．设函数y?y?x?由方程e?xe20
f?y? ①所确定，其中f二阶可导，且f??1，求y??.