又当t?0时，y?1?y?|所以，
dydx22t?0?e2，代入（6）式??e2?1ey??|t?0??34
|t?0?y??|t?0?e3?e?e?????2e?3?. ?24?4y9．设y?y?x?由方程y?1?xe ①所确定，求解：（一）①关于x求导得
dy?ydy?y?0?1.e?x?e.? dxdx??ydydx33.
即 ?1?xe由②式解得
2?dydx?e ②
ydydx?eyy1?xe（因为①）?ey1??y?1??ey2?y. ③
（二）
dydx2yd?dy?d?e?????dx?dx?dx??2?yyy?d?e????dy?2?y??2y?dy?.?dx ? ?e?2?y??ey??1?ey.22?y?2?y??e?3?y?. ④ 3?2?y?（三）
dydx332d?dy??2dx?dx?2y2y2y?d?e?3?y??d?e?3?y??dy?????.?? 3?3??dx?????2?y??dy??2?y??dx?2e ? ?e3y?3?y??e2y?.?2?y?3??e2y?3?y??.?3?2?y?2.??1??ey.2?y?2?y?62
19?12y?2y?2?y?5.
10．设雨点为球状物，若雨点体积对时间的变化率与表面积成正比，证明雨点半径增加的速
率为一常数.
解：设半径为r的球体的体积及表面积分别为V和S. 则有 V?43?r ① ， S?4?r2 ②
3 ① ①式两边关于t求导得
dVdt?4?r.2drdt?S.drdt ③
由题意，雨点体积对时间的变化率与表面积成正比，故可设
26
将④代入③得
dVdt?kS（k为正常数） ④
kS?S.drdt
所以，有
1xdrdt?k，即证明了雨点半径增加的速率为常数k.
11．曲线y?的切线与x轴、y轴围成一个图形.记切点的横坐标为a，试求切线方程
和这个图形的面积.当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何？ 解：（一）y?1x在点M?a,??1??处的切线斜率为 a??1? k????x??|x?a??112xx|x?a??12aa.1.
故y?1x在点M?a,??1??处的切线方程为 a? y?即
x3a1a??12aa.1?x?a?
?y32a?1 ①
（二）点M?a,??1??处的切线与x轴、y轴围成一个图形面积为 a? S?a??12.3a.32a94?94a.
94（三）limS?a??lima???a???a???；lim?S?a??lim?a?0a?0a?0.
12．一电线杆高AB?5m，顶端B处有一盏灯，一人高CD?1.8m，且以1m/s的速率前进.求当人与电线杆的距离AC?10m时（1）人影头顶E处前进的速率；（2）人影CE 的伸长速率.
解：（一）由于?CDE～?ABE，故有
即
27
CDAB1.85??CEAE
?1?ACAEAE?ACAE
所以 AC?①两边关于t求导得
将AC?10m，
d?ACdt1625AE ①
d?ACdt??16d?AE? ② .25dt??1m/s代入②，得
d?AEdt
?|AC?10?2516(m/s).
（二）由于?CDE～?ABE，故有
即
CDAB1.85??CEAECEAE925
也就是 CE?③两边关于t求导得
将AC?10m时，
d?AEdtAE ③
d?CEdt2516dt??925.d?AEdt? ④
?|AC?10?m/s代入④，得
13．设y?xa?xx，求y?. 解：y?ealnxxxad?CE??92516.25?916(m/s).
?exlnxa，所以
ay??e?alnxx????exlnx???e1alnxx?axlnx????exlnxa??xa?lnx
? ?eaxlnx?x?aln???2x?ax?xlnxa?1a?1 a??eaxlnx?xx????? ?xa.ax?lna.lnx?2xa1?x?a?1?alnx?1?. ??xx?14．求抛物线y?x?ax与y?x?bx(b?a?0)的公切线的方程.
解：所谓两条曲线的公切线是指同时与两条曲线相切的那条直线，比如中学时学过的两个圆周曲线的内、外公切线.
由y?x?ax得y??2x?a.抛物线y?x?ax在点M1x1,x1?ax1处的切线方程 为 y?x1?ax1??2x1?a??x?x1?，即
2222?2??? y??2x1?a?x?x1 ②
228
同理，抛物线y?x2?bx在点M2?x2,x2?bx2处的切线方程
2?为 y?x2?bx2??2x2?b??x?x2?，即
2?? y??2x2?b?x?x2 ③
2由切线方程②，③是完全相同的，故有
?x1??x2 ④ 且 2x1?a?2x2?b ⑤ 由④式得 x1?x2（舍去，否则与⑤式矛盾！）或x1??x2.将x1??x2代入⑤，得 x1?222b?a4
b?a4b?3a?2ab1622从而 x1?ax1?所以公切线斜率为
k?2x1?a?2.?b?a?216?a.?
b?a4?a?a?b2
所以公切线方程为 y?b?3a?2ab1622?a?b?b?a??x?? 2?4?2即 y?a?b2a?b2x?b?3a?2ab162?b?a822
也就是 y?x??b?a?216.
15．设函数g?x?在x?0处的某邻域内有定义，且g?x?在x?0处可导，
1???gxarctan2,x?0,? f?x???x?0,x?0.?
其中g?0??g??0??0，求f??0?.
解：f??0??limf?x??f?0?x?0g?x??g?0?x?0x?0?limg?x?xx?0arctan1x2
?limx?01?.limarctan2?g??0???0. x?02x29
16．设函数f?x??limxe4n?x?1??ax?b3??，其中a,b为常数，则a,b取何值时，函数f?x?n??enx?1?1在其定义域内处处可导. 解：（一） 1． 当x?1时，f?x??1?a?b2；
2． 当x?1时，f?x??ax3?b； 433． 当x?1时，f?x??limxen?x?1??ax?b43e?n(x?1)?be?n(x?1)n??en?x?1??1?limx?axn??1?e?n?x?1? ?x4. 即
?ax3?b,x?1,? f?x????1?a?b,x?1, ?2?x4?,x?1.（二）要使得f?x?在其定义域内处处可导，只须保证f?x?在x?0处可导. 1．要使f?x?在x?0处可导，首先要保证f?x?在x?0处连续，为此有 limf?x??limfx?1??x??f?1?
x?1?因此有 a?b?1 2．要使f?x?在x?0处可导，必须要保证f???1??f???1? ff?x??f?1?ax3?b?f?1????1??limx?1?x?1?limx?1?x?1（因为①）
32 ?lima?x?1??alim?x?1??x?x?1?x?1?x?1x?1?x?1?3a；
?1??limf?x??f?1?x4?1x??1??x3?x2 f?x?1???.
x?1?x?1?limx?1?x?1?limx?1?x?1?4因此，有 3a?4?a?43.
所以 b??13.
30
①