2015届广州市高三数学差缺补漏题（ 理科）
1．已知向量m?(2sinxxx,2sin2?1)，n?(cos,?3)，函数f(x)?m?n．
444（1）求函数f(x)的最大值，并写出相应x的取值集合； （2）若f(???3)?10，且??(0,?)，求tan?的值． 5解析： ：（1）
xxxxxx?f(x)?m?n?2sincos?3(1?2sin2)?sin?3cos?2sin(?)，
4442223∴当
x?????2k??，即当x?{x|x?4k?? (k?Z)}时，fmax?2； 2323?3)?2sin(（2）由（1）得：f(???2??2)?2cos?2，∴cos?2?10，10cos??2cos2?2?1??4。 5∵??(0,?)，∴sin??
3sin?3??． ，∴tan??5cos?42. 已知函数f(x)?sinx?(2cosx?sinx)?cos2x． （1）讨论函数f(x)在[0,?]上的单调性； （2）设
?4????2，且f(?)??52，求sin2?的值． 13解析：（1）f(x)?sin2x?sin2x?cos2x?sin2x?cos2x?2sin(2x?)，
4由x?[0,?]得2x?当2x?当2x?当2x????9??[,]， 444??[,]即x?[0,]时，f(x)递增； 4428?????3??5??[,]即x?[,]时，f(x)递减； 42288?[3?9?5?,]即x?[,?]时，f(x)递增． 248?4综上，函数f(x)在区间[0,]、[（2）由f(?)???85??5?,?]上递增，在区间[,]上递减． 88852?52?5，即2sin(2??)??，得sin(2??)??， 134134131
因为
?4????2，所以
3??5??12，可得cos(2??)??， ?2???4444132?2???sin(2??)?cos(2??) 则sin2??sin[(2??)?]?242444?2521272?(?)??(?)?． 21321326
3. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且满足：
a2?(b?c)2?(2?3)bc,又sinAsinB?（1）求角A的大小；
（2）若a?4，求?ABC的面积S． 解：（1）∵a2?(b?c)2?(2?3)bc,
1?cosC. 2b2?c2?a23bc3∴ b?c?a?3bc, 又∵cosA???2bc2bc2222∴A?π 61?cosC 2（2）∵sinAsinB?∴2sinAsinB?1?cosC?1?cos(A?B)，
cosAcosB?sinAsinB?1即cos(A?B)?1 ∴
∴A?B?0,即B?A?又∵a?4,S?∴S?43
24. 设?ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,且3b+3c-3a=42bc ．
π2π,C? 631absinC 222 （1） 求sinA的值；
2sin(A?)sin(B?C?)44的值． （2）求
1?cos2Ab2?c2?a222?解：（1）由余弦定理得cosA? 2bc3?? 2
又0?A??,故sinA?1?cosA?21 32sin(A?)sin(??A?)44 （2）原式?1?cos2A2sin(A?)sin(A?)44 ?22sinA2(
????
?2222sinA?cosA)(sinA?cosA)2222 22sinA
sin2A?cos2A? 22sinA7??.
25. PM 2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095?2012,PM 2.5日均值在35微克/立方米以下，空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间，空气质量为二级；在75微克/立方米以上，空气质量为超标.从某自然保护区2014年全年每天的PM 2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
PM 2.5日均值（微克/立方米） 频数 [25,35] (35,45] 3 1 (45,55] 1 (55,65] 1 (65,75] 1 (75,85] 3 [来源学科网]（1）从这10天的PM 2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记?表示抽到PM 2.5监测数据超标的天数，求?的
分布列；
（3）以这10天的PM 2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按365天计算）中
平均有多少天的空气质量达到一级或二级（精确到整数）.
解：（1）记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到
1C3?C7221?一级”为事件A，则P(A)? 3C1040答：恰有一天空气质量达到一级的概率为
21 40 3
（2）依据条件，?服从超几何分布，其中N?10,M?3,n?3,
?的可能取值为0，1，2，3，
3?kC3kC7P(??k)?(k?0,1,2,3) 3C10其分布列为
? 0 1 2 3 P 724[来源学&科&网]21 407 401 1207 10（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P?设一年中空气质量达到一级或二级的天数为?，则??E??365?0.7?255.5?256
B(365,0.7)
?估计一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级
6. 某市为了了解今年高中毕业生的体能状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行铅球测试，成绩在8.0米(精确到0.1米)以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30 ，第6小组的频数是7 。 (1) 求这次铅球测试成绩合格的人数；
(2) 若从今年的高中毕业生中随机抽取两名，记X表示两人中成绩不合格的人数，求X的分布列及数学期望； ．．．(3) 经过多次测试后，甲成绩在8～10米之间，乙成绩在9.5～10.5米之间，现甲、乙各投掷一次，求甲比乙投掷远的概率. 解：(1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴此次测试总人数为
7?50(人). 0.14∴第4、5、6组成绩均合格，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36(人) 即这次铅球测试成绩合格的人数为36 (2)X=0,1,2,此次测试中成绩不合格的概率为
1477,∴X～B(2,). ?502525P(X?0)?(1823241825274917，P(X?1)?C2，P(X?2)?()2?. )?()()?25625252562525625所求分布列为
4
X P 0 324 6251 252 6252 49 625E(X)?2?14714 两人中成绩不合格的人数的数学期望为 ?．．．252525y10.59.5DA89FCEB10(3)设甲、乙各投掷一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为
?8≤x≤10， ??9.5≤y≤10.5事件A“甲比乙投掷远的概率”满足的区域为x?y，如图所示.
x111??222?1. 即甲比乙投掷远的概率为1 ∴由几何概型P(A)?161?216
7. 为培养学生良好的学习习惯，学校对高一年级中的110名学生进行了有关作业量的调查，统计数据如下表：
喜欢玩游戏 不喜欢玩游戏 合计
（1）请补充完成2?2列联表，并根据此表判断：喜欢玩游戏与作业量是否有关？ （2）若从喜欢玩游戏的60名学生中利用分层抽样的方法抽取6名，再从这6名学生中任
取4名，求这4名学生中“认为作业多”的人数X的分布列与数学期望。
认为作业多 40 20 认为作业不多 20 合计 n(ad?bc)2 附：K?
(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)2P(K2?k0) 0.05 k0
解：（1）统计数据如下表：
喜欢玩游戏 不喜欢玩游戏 合计
0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828 3.841 认为作业多 40 20 60 5
认为作业不多 20 30 50 合计 60 50 110