110?40?30?20?20?将表中的数据代入公式，可求得K2??7.822?6.635.
60?50?60?502查表PK?6.635?0.010.?有99%的把握认为是否喜欢游戏与作业量的多少有关。
2?? （2）易知，利用分层抽样抽取的6名学生中，“认为作业多”的学生有4（名），“认为作业不多”的学生有2名。
由题知：从这6名学生中任取4名中“认为作业多”的人数X的所有可能取值为2,3,4.
31422C4C28C41C4C22 其中 P?X?2???,PX?3??,PX?4??. ????444C65C615C615 所以X的分布列为
X P 2 3 4 2 58 151 15故X的数学期望为E?X??2?
6818?3??4?? 15151538．射击测试有两种方案，方案1：先在甲靶射击一次，以后都在乙靶射击；方案2：始终在乙靶射击，某射手命中甲靶的概率为
23，命中一次得3分；命中乙靶的概率为，命中一34次得2分，若没有命中则得0分，用随机变量?表示该射手一次测试累计得分，如果?的值不低于3分就认为通过测试，立即停止射击；否则继续射击，但一次测试最多打靶3次，每次射击的结果相互独立。
（1）如果该射手选择方案1，求其测试结束后所得分?的分布列和数学期望E?； （2）该射手选择哪种方案通过测试的可能性大？请说明理由。 解析：（1）?的所有可能取值为0,2,3,4，则
1111P(??0)?P(ABB)?P(A)P(B)P(B)????34448，
P(??2)?P(ABB)?P(ABB)?P(A)P(B)P(B)?P(A)P(B)P(B)1311136???????34434448，
P(??3)?P(A)?23，
1339P(??4)?P(ABB)?P(A)P(B)P(B)????34448．
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?的分布列为：
? 0 148 2 3 23 4 P 648 948 E??0?1629?2??3??4??34848348，
（2）射手选择方案1通过测试的概率为
P1，选择方案2通过测试的概率为P2 ,
2931P?P(??3)???134848；
1333133327P2?P(??3)?P(BBB)?P(BBB)?P(BB)?????????4444444432,
因为
9. 如图，在斜三棱柱ABC?A1B1C1中，侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1?2．底面ABC是边长为2的正三角形，其重心为G点， E是线段BC1上一点，且BE?P2?P1，所以应选择方案2通过测试的概率更大．
1BC1． 3（1）求证：GE//侧面AA1B1B；
（2）求平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的正切值．
解：（1）延长B1E交BC于点F，
111?B1EC1∽△FEB，BE=EC1， ∴BF=B1C1=BC，
222从而点F为BC的中点．
∵G为△ABC的重心， ∴A、G、F三点共线． 且又GE?侧面AA1B1B， ∴GE//侧面AA1B1B （2）在侧面AA1B1B内，过B1作B1H⊥AB，垂足为H，
∵侧面AA1B1B⊥底面ABC， ∴B1H⊥底面ABC． 又侧棱AA1与底面ABC成60°的角，AA1=2，
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FGFE1??,?GE//AB1， FAFB13∴∠B1BH=60°，BH=1，B1H=3.
在底面ABC内，过H作HT⊥AF，垂足为T，连B1T，由三垂线定理有B1T⊥AF， 又平面B1CE与底面ABC的交线为AF，∴∠B1TH为所求二面角的平面角． ∴AH=AB+BH=3，∠HAT=30°，∴HT=AHsin30??在Rt△B1HT中，tan?B1TH?3． 2B1H23， ?HT33从而平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为23
解法2：（1）∵侧面AA1B1B⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°的角，∴∠A1AB=60°，
又AA1=AB=2，取AB的中点O，则AO⊥底面ABC． 以O为原点建立空间直角坐标系O—xyz如图， 则A?0,?1,0?，B?0,1,0?，C??3,0,0， 3,1,3．
?A10,0,3，B10,2,3，C1??????3∵G为△ABC的重心，∴G?． ,0,0???3???BE?1??BC1，∴E?3,1,3?，
?333?????∴CE??0,1,3??1AB1．
?3???3又GE?侧面AA1B1B，∴GE//侧面AA1B1B．
?323a?b?c?0,?n?BE?0,?1（2）设平面B1GE的法向量为n?(a,b,c)，则由?得 ?33????n?GE?0.?b?3c?0.?3?可取n??3,?1,3 又底面ABC的一个法向量为m???0,0,1?
m?n21． ?|m|?|n|7设平面B1GE与底面ABC所成锐二面角的大小为?，则cos??由于?为锐角，所以sin??1?cos2??27，进而23．
tan??733故平面B1GE与底面ABC成锐二面角的正切值为23
10. 如图，三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1=BC1=2, ?AAC1160 ,平面
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ABC1^平面AA1C1C,AC1与A1C相交于点D.
（1）求证：BD^平面AA1C1C;
（2）设点E是直线B1C1上一点，且DE//平面AA求平面EBD与平面ABC1夹角的1B1B，余弦值.
DB1EC1CB
A1A解析：：（1）由已知得侧面AA1C1C是菱形,D是AC1的中点，
BA=BC1,\\BD^AC1
平面ABC1^平面AA1C1C，且BDì平面ABC1，平面ABC1?平面AA1C1C=AC1
?BD^平面AA1C1C.
D是AC1的中点，所以DF//平面AA1B1B， （2）设点F是AC11的中点，因为点
DEF//平面AA1B1B，又平面DEF?平面又因为DE//面AA1B1B，所以平面
A1B1C1?EF，
E是B1C1的中点。 平面AA1B1B?平面A1B1C1?A1B1，所以EF//A1B1，所以点
如图，以D为原点,以DAz轴建立空间直角坐标系. 1,DA,DB所在直线分别为x轴, y轴，
B1EC1FA1xDCzBAy
由已知可得AC1=2,AD=1,BD=A1D=DC=3,BC=6 所以
D(0,0,0),A(0,1,0),A1(3,0,0),B(0,0,3),C1(0,?1,0)
设平面EBD的一个法向量是m=(x,y,z)由m?DB得3z?0?z?0， 又DE?1133(DC1?DB1)?(DC1?DB?AA1)?(,?1,) 2222 9
由m?DE?(x,y,z)?(333,?1,)?0?x?y?0 2223,0) 2令x?1?y?3，所以m?(1,2ABC1的平面ABC1^平面AA1C1C ，DA1?AC1，所以DA1?平面ABC1∴DA1是平面
一个法向量是DA1??1?(3,0,0)， cos?m,DA327 ?731??34平面EBD与平面ABC1夹角的余弦值是
27 7ABCD是梯形,AD//BC,侧面ABB1A111. 如图所示,在四棱柱ABCD?A1BC11D1中,底面
为菱形,?DAB??DAA1. (1) 求证:A1B?AD;
D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点,(2) 若AD?AB?2BC,?A1AB?60,点
求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值.
解析：解一：（1）因为侧面ABB1A所以AB?AA1，1为菱形，又?DAB??DAA1，
所以A1B?AD?A1A?AB?AD?A1A?AD?AB?AD
???A1A?ADcos(???DAA1)?AB?ADcos?DAB??AB?ADcos?DAA1?AB?ADcos?DAA1?0，
从而A1B?AD.
O，连接DO、AB1，由题意知DO?平面（2）设线段A1B的中点为
ABB1A1.因为侧面ABB1A1为菱形，所以AB1?A1B，故可分别以射线
OB、射线OB1、射线OD为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角
坐标系O?xyz，如图1所示.
设AD?AB?2BC?2a，由?A1AB?60?可知OB?a，OA?OB1?3a，所以
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