设
B?x??x?k?2lnxB?x?min?0x，x?1，则，
2k2x2?2x?k?x?1???1?k?B?x??1?2???2xxxx2，
''Bx?0B?x??1,???1?k?0?当时，??，在递增，
故
B?x??B?1??1?k?0B?x?'即k??1，?k??1； 8分
2当1?k?0时，
x?1???1?k??x?1????x21?k?x?1?1?kx2???，
2设1?1?k?t，t?1，则t?2t?k?0，
?B?x?在?1,t?递减，在?t,???递增，
?B?x?mint2?2tkt??2lnt?0?B?t??t??2lnt?0tt，即，即t?1?lnt?0，
由（1）得，t?1?lnt?0在t?1时恒成立，故k??1符合。 综上，k??1，故实数k的最小值为?1。 10分 （3）由h(x)?f(x)?x?1?lnx．
不妨设
x1?x2?0，则要证明
x1?x2x1?x2?x1x2lnx1?lnx2，
只需证明， x1x2?lnx1?lnx2，
即证x1xx?2?ln1x2x1x2． 12分
设x1?t(t?1)x21t??2lnt(t?1)，则只需证明t（*）
1x??2lnx?0x由（2）得， 在x?1时恒成立，
故（*）式成立，原不等式恒成立．
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24. 已知函数f(x)?lnx?12ax?(a?1)x(a?R，a?0). 2⑴ 求函数f(x)的单调增区间；
⑵ 记函数F(x)的图象为曲线C，设点A(x1,y1)、B(x2,y2)是曲线C上两个不同点，如果曲线C上存在点M(x0,y0)，使得：①x0?x1?x2；②曲线C在点M处的切线平行于直2线AB，则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问：函数f(x)是否存在中值相依切线，请说明理由.
解：（1）函数f(x)的定义域是(0,??).
1a(x?1)(x?)1a. 由已知得，f'(x)??ax?a?1??xxⅰ 当a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1;?函数f(x)在(0,1)上单调递增 ⅱ 当a?0时， ①当?11?1时，即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1; aa1?函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增
a ②当?③当?1?1时，即a??1时, 显然，函数f(x)在(0,??)上单调递增； a11?1时，即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x?? aa1?函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增.
a综上所述:
⑴当a?0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增
⑵当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增 ⑶当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增； ⑷当?1?a?0时,函数f(x)在(0,1)和(?(2)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.
设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?f(x)上的不同两点，且0?x1?x2，
1a1,??)上单调递增. a 27
则y1?lnx1?121ax1?(a?1)x1，y2?lnx2?ax22?(a?1)x2. 22kAB1(lnx2?lnx1)?a(x22?x12)?(a?1)(x2?x1)y?y2 ?21?x?xx2?x121 ?lnx2?lnx11?a(x1?x2)?(a?1).
x2?x12曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率
k?f?(x0)?f?(依题意得：
x1?x2x?x2)??a?12?(a?1)， 2x1?x22lnx2?lnx11x?x2?a(x1?x2)?(a?1)??a?12?(a?1).
x2?x12x1?x222(x2?1)x1.
x2?1x1化简可得
lnx2?lnx1x2(x2?x1)2?， 即ln2=?x2?x1x1?x2x1x2?x1 设
2(t?1)4x2?2?, ?t (t?1)，上式化为：lnt?t?1t?1x14414(t?1)2lnt??2,令g(t)?lnt?,g'(t)??. ?22t?1t?1t(t?1)t(t?1)因为t?1,显然g'(t)?0，所以g(t)在(1,??)上递增,显然有g(t)?2恒成立. 所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?4?2成立. t?1综上所述，假设不成立.所以，函数f(x)不存在“中值相依切线”
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