OD?AD?OA?a，从而A(0，0，0)，B1(0，3a，0)，?3a，0)，B(a，22D(0，，0a). 所以 CC1?BB1?(?a，3a，0).
由BC?13131AD可得C(a，a，a)，所以DC?(a，a，?a). 22222设平面DCC1D1的一个法向量为m?(x0，y0，z0)，由m?CC1?0，m?DC?0，
??ax0?3ay0?0，?得 ?取y0?1，则x0?3，z0?33，所以m?(3，，133). 31ay0?az0?0.?ax0??22又平面ABB1A的法向量为OD?(0，，0a)，所以1cos?OD，m?=OD?mODm=33a3?93. 31a31393. 31故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为BD，设AB1交A1B于点O， 解二：（1）连接AB1、A1D、
连OD，如图2所示.
ABD， 由AA1?AB，?DAB??DAA1可得△AA1D≌△
所以A1D?BD.由于O是线段A1B的中点，所以DO?A1B，
又根据菱形的性质AO?A1B，所以A1B?平面ADO，从而A1B?AD. （2）因为AD//BC，AD?2BC，所以延长AB、DC交于点E，
图2
EF， 延长A1B1、D1C1交于点F，且BE?AB，B1F?A1B1.连接
则EF//BB1.过点O作BB1的垂线交BB1于点G，交EF于点H， 连接DH，如图3所示.因为EF//BB1，所以OH?EF.
DH?EF， 由题意知DO?平面ABB1A1，可得
故?DHO是平面DCC1D1与平面ABB1A1所成二面角的平面角. 易知OG?333a，GH?3a，所以OH?a.在Rt△DOH中， 222?33?DH?OH?OD???2a????2233aOH39331?2?. ?a2?a，所以cos?DOH?DH31231a2图3
11
故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为
393. 3112．已知平行四边形ABCD，AB?4，AD?2，?DAB?60o，E为AB的中点，把三角形ADE沿DE折起至A?4，F是线段AC11的中点． 1DE位置，使得AC（1）求证：BF//面A1DE； （2）求证：面A1DE?面DEBC； （3）求二面角A1?DC?E的正切值．
A1FDCDCAEBEB
解析： (1) 如图
A1 F为AC1中点
G，连接FG、GE 证明：取DA1的中点
GDFC?GF//DC，且GF?DC
E为平行四边形ABCD边AB的中点
12EB?EB//DC，且EB?DC ?EB//GF，且EB?GF ?四边形BFGE是平行四边形
12?BF//EG
EG?平面A1DE，BF?平面A1DE
? BF//平面A1DE
（2）取DE的中点H，连接A1H、CH
A1FDH12
AB?4，AD?2，?DAB?60o，E为AB的中点
??DAE为等边三角形，即折叠后?DA1E也为等边三角形 ?A1H?DE，且A1H?3
CEB在?DHC中，DH?1，DC?4，?HDC?60o 根据余弦定理，可得
HC2?DH2?DC2?2DH?DCcos60o?12?42?2?1?4?，HC?13AC?4， A1H?3，12?AC?A1H2?HC2，即A1H?HC 11?13在?A1HC中，2
又
?A1H?DE?AH?HC1???DE?面DEBC，所以A1H?面DEBC ?HC?面DEBC???DEHC?HA1FDHEBOC又
A1H?面A1DE
?面A1DE?面DEBC
（3）过H作HO?DC于O，连接AO1、HO
A1H?面DEBC ?A1H?DC
又A1HHO?H
?DC?面A1HO ?DC?AO1,DC?HO
是二面角A1?DC?E的平面角 ??AOH1o在Rt?A，HO?DH?sin60?1?H?31HO中，A133，故?22tan?AOH?13?2 32所以二面角A1?DC?E的正切值为2
13. 设等差数列?an?的前n项和为Sn，满足：a2?a4?18,S7?91.递增的等比数列?bn?,Tk?126， 前n项和为Tn，满足：b1?bk?66,b2bk?1?128（1）求?an?、?bn?的通项公式
13
（2）设数列?cn?对?n?N，均有
?cc1c2????n?an?1成立，求c1?c2???c2015 b1b2bna2?a4?2a3?18??7(a1?a7)解：由题意得?，得a3?9,a4?13 S??7a?9174?2?则公差d?4，则an?a3?4(n?3)?4n?3
?b2bk?1?b1bk?128,b1?bk?66
则b1,bk是方程x?66x?128?0的两根，得b1?2,bk?64 又Tk?2b1?bkq2?64q??126，则q?2，则bn?2n
1?q1?q（2）?cc1c2????n?an?1 b1b2bn?cc1c2????n?1?an(n?2) b1b2bn?1cn?an?1?an?4(n?2) bn两式相减得
则cn?4bn?2n?2(n?2) 又
c1?a2?5,b1?2，则c1?10 b1则c1?c2???c2015?10?(22?24???22017)?22018?6
14. 设各项均为正数的数列?an?的前n项和为Sn，满足an+12=4Sn+4n?3，且a2,a5,a14恰好是等比数列?bn?的前三项．
（1）求数列?an?、?bn?的通项公式；
*（2）记数列?bn?的前n项和为Tn，若对任意的n?N，(Tn?)k?3n?6恒成立，求实
32数k的取值范围． 解：（1）
2an+12=4Sn+4n?3，?当n?2时，an=4Sn?1+4?n?1??3，
?an+12?an2=4?Sn?Sn?1??4=4an?4，
?an+12?an2?4an?4??an?2?2，
an?0恒成立，?an+1?an?2,n?2，
当n?2时，
?an?是公差d?2的等差数列.
14
2a2,a5,a14构成等比数列，?a5?a2?a14，?a2?8??a2??a2?24?，
2解得
a2?3，
?当n?2时，an?3?2?n?2??2n?1，
2a2由条件可知，=4a1+4?3，?a1?2
?2,n?1an???2n?1,n?2. ?数列?an?的通项公式为
?b1?3,b2?9，?数列{bn}的通项公式为bn?3
n?1b1(1?qn)3(1?3n)3n?1?33?33Tn????(?)k?3n?6*1?q1?3222（2）， 对n?N恒成
n?k?立， 即
2n?43n对n?N*恒成立， 11分
令
cn?2n?42n?42n?6?2(2n?7)c?c??n?1?nn?13n，3n33n，
当n?3时，
cn?cn?1，当n?4时，cn?cn?1
22k?27，27．
?(cn)max?c3?
15．已知数列?an?满足an?3an?1?3n?1(n?N?,n?2)且a3?95。 （1）求a1,a2的值；
（2）是否存在一个实数t，使得bn?1?(a?t)(n?N)且?bn?为等差数列？若存在，求nn3出t的值；如不存在，请说明理由； （3）求数列?an?的前n项和Tn．
解析：（1）当n=2时，a2?3a1?8，当n=3时，
a3?3a2?26?95?a2?23，?23?3a1?8?a1?5．
（2）法一：当n?2时，bn?bn?1?111a?t?a?t??????an?t?3an?1-3t? nn?13n3n?13n?1n1?2t3?1?2t?1?． ??3n3n15