要使?bn?为等差数列，则必须使1?2t?0, 即存在t??法二：利用b1?b3?2b2，可得t??（3） 因为当t??所以bn?1，使?bn?为等差数列． 2111，再证明bn?n(an?)为等差数列.
32213时，?bn?为等差数列，且bn?bn?1?1，b1? 2231?(n?1)?n? 22n所以an?(n?)?3?121 2n?3n?1nn(3n?1?1)??所以Tn? 222
?1?an?n,n为奇数，16．已知数列?an?中，a1?1,an?1??3
?an?3n,n为偶数.?（1）证明数列?a2n??是等比数列； （2）若Sn是数列?an?的前n项和，求S2n.
??3?2?解析：（1）设因为
bn?a2n?33131b1?a2??(a1?1)???2，则2326，
3131131a2n?1?(2n?1)?(a2n?6n)?(2n?1)?a2n?bn?12?32?32?1.2?3?3333bn3a2n?a2n?a2n?a2n?2222 311{a2n?}?2是以6为首项，3为公比的等比数列. 所以数列
a2(n?1)?31?1?bn?a2n??????26?3?（2）由（1）得
nn?11?1??????2?3?，
n1?1?31a2n??????a2n?a2n?1??2n?1?2?3?2， 由3即，
1?1?a2n?1?3a2n?3?2n?1??????2?3?得
n?1?6n?152，
16
所以
n?1nn1??1??1???1?a2n?1?a2n???????????6n?9??2????6n?92??3???3???3??，
S2n??a1?a2???a3?a4??L??a2n?1?a2n?
n1??1??1???3??3??2n??2??1?1??1??1??2?????L?????6?1?2?L?n??9n1??3???3?3???32?1??1?????1?3n2?6n????3?n?1??2?3??3?，
nn?????6?n(n?1)?9n2
x2y22217. 已知椭圆C:2?2?1 (a?b?0)经过点M(1,. )，且其离心率为
ab22（1）求椭圆C的方程；
（2）若F为椭圆C的右焦点，椭圆C与y轴的正半轴相交于点B，经过点B的直线与椭圆C相交于另一点A，且满足BA?BF=2，求△ABF外接圆的方程. 解：（1）因为椭圆C经过点M(1,112)，所以2?2?1.①
a2b22a2?b22因为椭圆C的离心率为，所以，即a2?2b2.② ?2a2x2?y2?1. 联立①②解得，a?2,b?1.所以椭圆C的方程为222x2?y2?1，所以F(1,0),B(0,1). （2）由（1）得，椭圆C的方程为2x2设A(x0,y0)，则0?y0?1.③
2因为BA?(x0,y0?1),BF?(1,?1)，且BA?BF=2， 所以x0?(y0?1)?2，即y0?x0?1.④
24?x?,??x0?0,41?03联立③④解得，?或?，所以A(0,?1)或A(,).
33?y0??1,?y?1.0?3?
17
当A为(0,?1)时，因为OA?OB?OF?1，所以△ABF的外接圆是以O为圆心，1为半径的圆，此时外接圆的方程为x2?y2?1.
当A为(,)时，设△ABF的外接圆方程为x2?y2?Dx?Ey?F?0，
41334?D??,??3?1?D?F?0,??4?则?1?E?F?0,解得?E??,
3??17411???D?E?F?0,F?.3?93?3?此时外接圆的方程为x?y?22441x?y??0. 3332222综上所述，△ABF的外接圆的方程为x?y?1或x?y?441x?y??0. 333
x2y2718．已知圆M:(x?2)?y?，若椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右顶点为圆M的圆
ab322心，离心率为2． 2（1）求椭圆C的方程；
（2）已知直线l:y?kx，若直线l与椭圆C分别交于A，B两点，与圆M分别交于G，H两点（其中点G在线段AB上），且AG?BH，求k的值． 解：（1）圆M的圆心为(2,0)，则a?2 e?c2?，?c?1，故b2?a2?c2?1 a2x2?y2?1 椭圆C的方程为2（2）设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由直线l与椭圆C交于两点A，B
?y?kx则?2 得(1?2k2)x2?2?0 2?x?2y?2所以x1?x2?0，x1?x2??22
1?2k288(1?k2)?AB?(1?k)? 1?2k21?2k2 18
72k2点M(2,0)到直线l的距离d?，则GH?2r?d?2 ?2231?k1?k222k显然，若点H也在线段AB上，则由对称性可知，直线y?kx就是y轴，矛盾 AG?BH， ?AB?GH8(1?k2)72k2?4(?)， 解得k2?1，即k??1 即221?2k31?k
x2y2319. 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)的右焦点为F(1,0)，且点P(1,)在椭圆C上，O为
ab2坐标原点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设过定点T(0,2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，且?AOB为锐角，求直线
l的斜率k的取值范围；
4x2y2?1上异于其顶点的任一点P，作圆O:x2?y2?的两条切（3）过椭圆C1:2?5a3b2?3线，切点分别为M,N（M,N不在坐标轴上），若直线MN在x轴、y轴上的截距分别为m、n，证明：
11为定值． ?223mn解：（1）由题意得：c?1所以a2?b2?1
319 又因为点P(1,)在椭圆C上，所以??1，可解得a2?4,b2?3 222a4bx2y2??1． 所以椭圆标准方程为43（2）设直线l方程为y?kx?2，设A(x1,y1)、B(x2,y2)
?y?kx?2?由?x2y2得：(4k2?3)x2?16kx?4?0，
?1??3?422因为??12k?3?0，所以k?1， 4又x1?x2??16k4xx?， 124k2?34k2?3因为?AOB为锐角，所以OA?OB?0， 即x1x2?y1y2?0， 所以x1x2?(kx1?2)(kx2?2)?0，
19
所以(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4?0．
2所以(1?k)?4?16k?2k??4?0 224k?34k?3?12k2?1641422k??k??0即，所以．所以， 23434k?3解得?231123 ?k??或?k?3223x23y2??1设点P(x1,y1)，M(x2,y2)，N(x3,y3), （3）由题意：C1:44因为M,N不在坐标轴上，所以kPM??1kOM??x2 y2直线PM的方程为y?y2??化简得：x2x?y2y?x2(x?x2) y24 ④ 34同理可得直线PN的方程为x3x?y3y? ⑤
34?xx?yy?21??213把P点的坐标代入④、⑤得?
4?xx?yy?3131?3?所以直线MN的方程为x1x?y1y?令y?0，得m?4， 344，令x?0得n?， 3x13y144，y1?又点P在椭圆C1上， 3m3n424113)?3()2?4， 即2?2?为定值． 所以(3m3n3mn4所以x1?
220．已知抛物线C：x?2py(p?0)的焦点为F，点P是直线y?x与抛物线C在第一
象限的交点，且|PF|?5. （1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l:y?kx?m与抛物线C有唯一公共点M，且直线l与抛物线的准线交于点Q,
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