（2）如图位置二，当O1，A1，C1恰好在同一直线上时，设⊙O1与l1的切点为E， 连接O1E，可得O1E=2，O1E⊥l1， 在Rt△A1D1C1中，∵A1D1=4，C1D1=4， ∴tan∠C1A1D1=，∴∠C1A1D1=60°， 在Rt△A1O1E中，∠O1A1E=∠C1A1D1=60°， ∴A1E==， ∵A1E=AA1﹣OO1﹣2=t﹣2， ∴t﹣2=∴t=， +2， +6； ∴OO1=3t=2 （3）①当直线AC与⊙O第一次相切时，设移动时间为t1， 如图，此时⊙O移动到⊙O2的位置，矩形ABCD移动到A2B2C2D2的位置， 设⊙O2与直线l1，A2C2分别相切于点F，G，连接O2F，O2G，O2A2， ∴O2F⊥l1，O2G⊥A2G2， 由（2）得，∠C2A2D2=60°，∴∠GA2F=120°， ∴∠O2A2F=60°， 在Rt△A2O2F中，O2F=2，∴A2F=∵OO2=3t，AF=AA2+A2F=4t1+∴4t1+∴t1=2﹣﹣3t1=2， ， ， ， ②当直线AC与⊙O第二次相切时，设移动时间为t2， 记第一次相切时为位置一，点O1，A1，C1共线时位置二，第二次相切时为位置三， 由题意知，从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等， ∴+2﹣（2﹣， ）=t2﹣（+2）， 解得：t2=2+2综上所述，当d＜2时，t的取值范围是：2﹣5.解：（1）证明：如图1， ∵CE为⊙O的直径， ∴∠CFE=∠CGE=90
∵EG⊥EF， ∴∠FEG=90°．
∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°． ∴四边形EFCG是矩形． （2）①存在．
连接OD，如图2①， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠ADC=90°． ∵点O是CE的中点， ∴OD=OC．
∴点D在⊙O上．
∵∠FCE=∠FDE，∠A=∠CFE=90°， ∴△CFE∽△DAB． ∴
=（
）．
2
＜t＜2+2． ∵AD=4，AB=3， ∴BD=5， S△CFE=（==
）?S△DAB
2
××3×4 ．
∴S矩形ABCD=2S△CFE =
．
∵四边形EFCG是矩形， ∴FC∥EG．
∴∠FCE=∠CEG．
∵∠GDC=∠CEG，∠FCE=∠FDE， ∴∠GDC=∠FDE． ∵∠FDE+∠CDB=90°， ∴∠GDC+∠CDB=90°． ∴∠GDB=90°
Ⅰ．当点E在点A（E′）处时，点F在点B（F′）处，点G在点D（G′处，如图2①所示． 此时，CF=CB=4．
Ⅱ．当点F在点D（F″）处时，直径F″G″⊥BD， 如图2②所示，
此时⊙O与射线BD相切，CF=CD=3．
Ⅲ．当CF⊥BD时，CF最小，此时点F到达F″′， 如图2③所示．
S△BCD=BC?CD=BD?CF″′． ∴4×3=5×CF″′ ∴CF″′=∴
．
≤CF≤4．
，
2
∵S矩形ABCD=∴×（∴
2
）≤S矩形ABCD≤×4．
≤S矩形ABCD≤12．
．
∴矩形EFCG的面积最大值为12，最小值为
②∵∠GDC=∠FDE=定值，点G的起点为D，终点为G″， ∴点G的移动路线是线段DG″．
∵∠GDC=∠FDE，∠DCG″=∠A=90°， ∴△DCG″∽△DAB． ∴∴=∴DG″=
=
． ． ．
．
∴点G移动路线的长为
来
6.解：（1）以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC， 以点C为圆心，AC为半径作⊙C，交y轴于点P1、P2． 在优弧AP1B上任取一点P，如图1， 则∠APB=∠ACB=×60°=30°． ∴使∠APB=30°的点P有无数个． 故答案为：无数．
（2）①当点P在y轴的正半轴上时， 过点C作CG⊥AB，垂足为G，如图1． ∵点A（1，0），点B（5，0）， ∴OA=1，OB=5． ∴AB=4．
∵点C为圆心，CG⊥AB， ∴AG=BG=AB=2． ∴OG=OA+AG=3．
∵△ABC是等边三角形， ∴AC=BC=AB=4． ∴CG==
=2．
∴点C的坐标为（3，2）．
过点C作CD⊥y轴，垂足为D，连接CP2，如图1， ∵点C的坐标为（3，2），
∴CD=3，OD=2．
∵P1、P2是⊙C与y轴的交点， ∴∠AP1B=∠AP2B=30°． ∵CP2=CA=4，CD=3， ∴DP2=
=
．
∵点C为圆心，CD⊥P1P2， ∴P1D=P2D=． ∴P2（0，2﹣）．P1（0，2+）． ②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P3（0，﹣2﹣）．P4（0，﹣2+）． 综上所述：满足条件的点P的坐标有： （0，2﹣）、（0，2+）、（0，﹣2﹣）、（0，﹣2
（3）当过点A、B的⊙E与y轴相切于点P时，∠APB最大． ①当点P在y轴的正半轴上时，
连接EA，作EH⊥x轴，垂足为H，如图2． ∵⊙E与y轴相切于点P， ∴PE⊥OP
∵EH⊥AB，OP⊥OH，
∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°． ∴四边形OPEH是矩形． ∴OP=EH，PE=OH=3 ∴EA=3．
∵∠EHA=90°，AH=2，EA=3， ∴EH==
+）．
=
∴OP= ∴P（0，）．
②当点P在y轴的负半轴上时， 同理可得：P（0，﹣）． 理由：
①若点P在y轴的正半轴上，
在y轴的正半轴上任取一点M（不与点P重合），
连接MA，MB，交⊙E于点N，连接NA，如图2所示． ∵∠ANB是△AMN的外角， ∴∠ANB＞∠AMB． ∵∠APB=∠ANB， ∴∠APB＞∠AMB．
②若点P在y轴的负半轴上， 同理可证得：∠APB＞∠AMB．