综上所述：当点P在y轴上移动时，∠APB有最大值， 此时点P的坐标为（0，）和（0，﹣）．
7．解答：
证明：（1）如图，连接PM，PN，
∵⊙P与x轴，y轴分别相切于点M和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM=PN，
∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°，∵PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE，
在△PMF和△PNE中，，∴△PMF≌△PNE（ASA），∴PE=PF，
（2）解：①当t＞1时，点E在y轴的负半轴上，如图， 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a，
②0＜t≤1时，如图2，点E在y轴的正半轴或原点上，
同理可证△PMF≌△PNE，
∴b=OF=OM+MF=1+t，a=ON﹣NE=1﹣t， ∴b+a=1+t+1﹣t=2， ∴b=2﹣a，
（3）如图3，（Ⅰ）当1＜t＜2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称， ∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0）∴OQ=1﹣t， 由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴解得，t=
=∴=， =
，
，当△OEQ∽△MFP时，∴
=，解得，t=，
（Ⅱ）如图4，当t＞2时，
∵F（1+t，0），F和F′关于点M对称， ∴F′（1﹣t，0）
∵经过M、E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q， ∴Q（1﹣t，0）∴OQ=t﹣1，
由（1）得△PMF≌△PNE ∴NE=MF=t，∴OE=t﹣1
当△OEQ∽△MPF∴=∴=，无解，
当△OEQ∽△MFP时，∴所以当t=
，t=
=，=，解得，t=2±，
，t=2±时，使得以点Q、O、E为顶点的三角形与以点P、M、F
为顶点的三角形相似．
8.答： ：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC， ∴∠BDF=∠CEF=90°． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠B=∠C=60°． ∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C， ∴△BDF∽△CEF． （2）∵∠BDF=90°，∠B=60°， ∴sin60°=∵BF=m， ∴DF=m，BD=． =，cos60°==． ∵AB=4， ∴AD=4﹣． ∴S△ADF=AD?DF =×（4﹣）×=﹣m2+m m． 同理：S△AEF=AE?EF =×（4﹣=﹣m2+2）×． （4﹣m） ∴S=S△ADF+S△AEF =﹣=﹣=﹣m2+m+2 （m2﹣4m﹣8） （m﹣2）2+3．其中0＜m＜4． ∵﹣＜0，0＜2＜4， ． ∴当m=2时，S取最大值，最大值为3∴S与m之间的函数关系为： S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）． ． 当m=2时，S取到最大值，最大值为3（3）如图2， ∵A、D、F、E四点共圆， ∴∠EDF=∠EAF． ∵∠ADF=∠AEF=90°， ∴AF是此圆的直径． ∵tan∠EDF=∴tan∠EAF=∴=． ， ． ∵∠C=60°， ∴=tan60°=． x，EA=2x． 设EC=x，则EF=∵AC=a， ∴2x+x=A． ∴x=． ∴EF=，AE=． ∵∠AEF=90°， ∴AF=∴此圆直径长为=． ． 9.
解答：解 ：（1）连接OA，过点B作BH⊥AC，垂足为H，如图1所示． ∵AB与⊙O相切于点A， ∴OA⊥AB． ∴∠OAB=90°． ∵OQ=QB=1， ∴OA=1． ∴AB===． ∵△ABC是等边三角形， ∴AC=AB=，∠CAB=60°． ∵sin∠HAB=， ∴HB=AB?sin∠HAB =× =． ∴S△ABC=AC?BH =×× =． ∴△ABC的面积为． （2）①当点A与点Q重合时， 线段AB与圆O只有一个公共点，此时α=0°； ②当线段A1B所在的直线与圆O相切时，如图2所示， 线段A1B与圆O只有一个公共点， 此时OA1⊥BA1，OA1=1，OB=2，