∵EF∥BD，
∴∠FEC=∠CDB．
∵∠CDB=90°﹣30°=60°， ∴∠CEF=60°．
由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°． ∴∠GED=60°． ∵CE=x，
∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x． ∴cos∠GED=
=
=．
∴x=2．
∴GE=2，ED=1． ∴GD=．
∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=． ∴OG=OM．
∴点G与点M重合．
此时△EFG的直角顶点G落在⊙O上，对应的x的值为2． ∴当△EFG的直角顶点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．
（3）①如图①， 在Rt△EGF中， tan∠FEG=∴FG=
=
=
．
x．
x=
x．
2
∴S=GE?FG=x?②如图③，
ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，
GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6． ∵tan∠SRG=
=
=
，
∴SG=（x﹣2）．
∴S△SGR=SG?RG=?（x﹣2）?（3x﹣6）． =
（x﹣2）．
x，
22
∵S△GEF=
∴S=S△GEF﹣S△SGR ==﹣
x﹣x+6
22
（x﹣2）． x﹣6
．
x；当2＜x≤3时，S=﹣
2
2
综上所述：当0≤x≤2时，S=x+6
2
x﹣6．
当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90° ∴∠AQF=∠CFG=60°． ∵OT=， ∴OQ=2． ∴AQ=+2．
∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°， ∴四边形ABFK是矩形．
∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x． ∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣在Rt△FKQ中，tan∠FQK=∴FK=QK． ∴3=（2﹣2+解得：x=3﹣
．
=
．
x）=2﹣2+x．
x）．
∵0≤3﹣∴S==
x=
2
≤2， ×（3﹣
）
2
﹣6．
﹣6．
∴FG与⊙O相切时，S的值为
13 解答：（1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1， ∵E是弧AB的中点， ∴OE⊥AB， ∴∠EHF=90°， ∴∠HEF+∠HFE=90°， 而∠HFE=∠CFD， ∴∠HEF+∠CFD=90°， ∵DC=DF， ∴∠CFD=∠DCF， 而OC=OE， ∴∠OCE=∠OEC， ∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°， ∴OC⊥CD， ∴直线DC与⊙O相切； （2）解：连结BC， ∵E是弧AB的中点， ∴弧AE=弧BE， ∴∠ABE=∠BCE， 而∠FEB=∠BEC， ∴△EBF∽△ECB， ∴EF：BE=BE：EC， ∴EF?EC=BE2=（r）2=r2； （3）解：如图2，连结OA， ∵弧AE=弧BE， ∴AE=BE=r， 设OH=x，则HE=r﹣x， 在Rt△OAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2， 在Rt△EAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（r﹣x）2=（r）2， ∴x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r， ∴HE=r﹣r=r， 在Rt△OAH中，AH=∵OE⊥AB， ==， ∴AH=BH， 而F是AB的四等分点， ∴HF=AH=， 在Rt△EFH中，EF=∵EF?EC=r2， ∴∴EC=r?EC=r2， r． ==r， 14. 解：（1）连结O1A、O2B，如图，设⊙O1的半径为r，⊙O2的半径为R， ∵⊙O1与⊙O2外切与点D， ∴直线O1O2过点D， ∴MO2=MD+O2D=4+R， ∵直线l与两圆分别相切于点A、B， ∴O1A⊥AB，O2B⊥AB， ∵tan∠AM01=， ∴∠AM01=30°， 在Rt△MBO2中，MO2=O2B=2R， ∴4+R=2R，解得R=4； ， 即⊙O2的半径为4（2）∵∠AM02=30°， ∴∠MO2B=60°， 而O2B=O2D， ∴△O2BD为等边三角形， ∴BD=O2B=4，∠DBO2=60°， ∴∠ABD=30°， ∵∠AM01=30°， ∴∠MO1A=60°， 而O1A=O1D， ∴∠O1AD=∠O1DA， ∴∠O1AD=∠MO1A=30°， ∴∠DAB=60°， ∴∠ADB=180°﹣30°﹣60°=90°， 在Rt△ABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8， ∴△ADB内切圆的半径=∴△ADB内切圆的面积=π?（2（3）存在． 在Rt△MBO2中，MB=O2B===2﹣2， ）π； ﹣2）2=（16﹣8×4=12， 当△MO2P∽△MDB时，=，即=，解得O2P=8； 当△MO2P∽△MBD时，=，即=． ，解得O2P=8， 综上所述，满足条件的O2P的长为8或8 15. 解：（1）连接PA，如图1所示． ∵PO⊥AD， ∴AO=DO． ∵AD=2∴OA=， ．