2012届高考数学二轮专题复习教案
专题一 集合、简单逻辑用语、函数、 不等式、导数及应用
第1讲 集合与简单逻辑用语
1. 理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：弄清元素是函数关系式中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？?
2. 数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决．
3. 已知集合A、B，当A∩B＝?时，你是否注意到“极端”情况：A＝?或B＝?？求集合的子集时是否忘记?？分类讨论思想的建立在集合这节内容学习中要得到强化．
4. 对于含有n个元素的有限集合M, 其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1，2n－1，2n－2.
5. ?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
1. A、B是非空集合，定义A×B＝{x|x∈A∪B，且x?A∩B}，若A＝{x∈R|y＝x2－3x}，B＝{y|y＝3x，x∈R}，则A×B＝______________.
2. 已知命题P：n∈N,2n＞1 000，则
P为________．
3. 条件p：a∈M＝{x|x2－x<0}，条件q：a∈N＝{x||x|<2}，p是q的______________条件．
(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)
4. 若命题“?x∈R，x2＋(a－1)x＋1>0”是假命题，则实数a的取值范围为________．
【例1】 已知集合A＝{x|x2－3x－10≤0}，集合B＝{x|p＋1≤x≤2p－1}．若B?A，求实数p的取值范围．
1
【例2】 设A＝{(x，y)|y2－x－1＝0}，B＝{(x，y)|4x2＋2x－2y＋5＝0}，C＝{(x，y)|y＝kx＋b}，是否存在k、b∈N，使得(A∪B)∩C＝?？若存在，求出k，b的值；若不存在，请说明理由．
【例3】 (2011·广东)设S是整数集Z的非空子集，如果?a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z且?a，b，c∈T，有abc∈T，?x，y，z∈V，有xyz∈V.
则下列结论恒成立的是________．
A. T，V中至少有一个关于乘法封闭 B. T，V中至多有一个关于乘法封闭 C. T，V中有且只有一个关于乘法封闭 D. T，V中每一个关于乘法封闭
【例4】 已知a>0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1) 当b>0时，若?x∈R，都有f(x)≤1，证明：0
(2) 当b>1时，证明：?x∈[0,1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2b.
1. (2011·江苏)已知集合A＝{－1,1,2,4}，B＝{－1,0,2}，则A∩B＝________.
2.(2011·天津)命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是________．
3.(2009·江苏)已知集合A＝{x|log2x≤2}，B＝(－∞，a)，若A?B，则实数a的取值范围是(c，＋∞)，其中c＝________.
4.(2009·陕西)某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．
5.(2011·陕西)设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有正整数根的充要条件是n＝________.
6.(2011·福建)在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0,1,2,3,4.给出如下四个结论：
2
①2 011∈[1]； ②－3∈[3]；
③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；
④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”． 其中，正确结论的个数是________个．
(2011·全国)(本小题满分14分)设a∈R，二次函数f(x)＝ax2－2x－2a.若f(x)>0的解集为A，B＝{x|1 1 解：由f(x)为二次函数知a≠0，令f(x)＝0解得其两根为x1＝－a12＋2， a 由此可知x1<0，x2>0，(3分) ① 当a>0时，A＝{x|x A∩B≠?的充要条件是x2＜3，即＋a② 当a<0时， A＝{x|x1 A∩B≠?的充要条件是x2>1，即＋ a 12＋2>1，解得a<－2，(13分) a16 2＋2<3，解得a>，(9分) a7 11 2＋2，x2＝＋aa 6 ，＋∞?.(14分) 综上，使A∩B≠?成立的实数a的取值范围为(－∞，－2)∪??7? 一 集合、简单逻辑用语、函数、不等式、导数及应用 第1讲 集合与简单逻辑用语 1. (2011·安徽)设集合A＝{1,2,3,4,5,6}，B＝{4,5,6,7}，则满足S?A且S∩B≠?的集合S的个数为________． A. 57 B. 56 C. 49 D. 8 【答案】 B 解析：集合A的所有子集共有26＝64个，其中不含4,5,6,7的子集有23 ＝8个，所以集合S共有56个．故选B. m 2. (2011·江苏)设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}, B＝{(x，y)|2m≤x＋ 2y≤2m＋1，x，y∈R}, 若A∩B≠?，则实数m的取值范围是________． 1m1 ，2＋2? 解析：由A∩B≠?得，A≠?，所以m2≥，m≥或m≤0.【答案】 ??2?22|2－2m||2－2m－1|2 当m≤0时，＝2－2m＞－m，且＝－2m＞－m，又2＋0＝2＞2m 222|2－2m|1 ＋1，所以集合A表示的区域和集合B表示的区域无公共部分；当m≥时，只要≤m 22 3 |2－2m－1|22或≤m，解得2－2≤m≤2＋2或1－≤m≤1＋，所以实数m的取值范围 2221 ，2＋2?. 是??2? 点评：解决此类问题要挖掘问题的条件，并适当转化，画出必要的图形，得出求解实数m的取值范围的相关条件． 基础训练 1. (－∞，3) 解析：A＝(－∞，0]∪[3，＋∞)，B＝(0，＋∞)，A∪B＝(－∞，＋∞)，A∩B＝[3，＋∞)． 2. ?n∈N,2n≤1 000 3. 充分不必要 解析：M＝(0,1)?N＝(－2,2)． 4. a≥3或a≤－1 解析：Δ＝(a－1)2－4≥0，a≥3或a≤－1. 例题选讲 例1 解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5. ∴ A＝[－2,5]． ① 当B≠?时，即p＋1≤2p－1?p≥2.由B?A得－2≤p＋1且2p－1≤5.得－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3. ② 当B＝?时，即p＋1>2p－1?p＜2.B?A成立．综上得p≤3. 点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B＝?，A∪B＝A，A∪B＝B或A?B等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中全方位、多角度审视问题． 变式训练 设不等式x2－2ax＋a＋2≤0的解集为M，如果M?[1,4]，求实数a的取值范围． 解： M?[1,4]有n种情况：其一是M＝?，此时Δ＜0；其二是M≠?，此时Δ≥0，分三种情况计算a的取值范围． 设f(x)＝x2－2ax＋a＋2，有Δ＝(－2a)2－(4a＋8)＝4(a2－a－2)， ① 当Δ＜0时，－1＜a＜2，M＝??[1,4]成立； ② 当Δ＝0时，a＝－1或2，当a＝－1时，M＝{－1}?[1,4]，当a＝2时，M＝{2}?[1,4]； ③ 当Δ＞0时，a＜－1或a＞2.设方程f(x)＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2，那么M＝ ??f?1?≥0且f?4?≥0， [x1，x2]，M?[1,4]?1≤x1＜x2≤4?? ?1≤a≤4且Δ＞0.? －a＋3≥0， ??18－7a≥0，即?1≤a≤4，??a＜－1或a＞2， 1818 －1，?. 解得：2＜a≤，综上实数a的取值范围是?7??7 例2 解： ∵ (A∪B)∩C＝?，∵A∩C＝?且B∩C＝?， 2 ??y＝x＋1，由 ? 得k2x2＋(2bk－1)x＋b2－1＝0， ?y＝kx＋b? ∵ A∩C＝?，∴ k≠0，Δ1＝(2bk－1)2－4k2(b2－1)<0， ∴ 4k2－4bk＋1<0，此不等式有解，其充要条件是16b2－16>0，即b2>1，① 2??4x＋2x－2y＋5＝0，∵ ? ?y＝kx＋b，? 4 ∴ 4x2＋(2－2k)x＋(5－2b)＝0， ∵ B∩C＝?，∴ Δ2＝4(1－k)2－16(5－2b)<0， ∴ k2－2k＋8b－19<0, 从而8b<20，即b<2.5， ② 由①②及b∈N，得b＝2，代入由Δ1<0和Δ2<0组成的不等式组，得 ?4k2－8k＋1＜0，??2 ?k－2k－3＜0，? ∴ k＝1，故存在自然数k＝1，b＝2，使得(A∪B)∩C＝?． 点评：把集合所表示的意义读懂，分辨出所考查的知识点，进而解决问题. ???1－y＝3 变式训练 已知集合A＝??x，y?? ?x＋1?? ?? ?，B＝{(x，y)|y＝kx＋3}，若A∩B＝?，?? 求实数k的取值范围． 解： 集合A表示直线y＝－3x－2上除去点(－1,1)外所有点的集合，集合B表示直线y＝kx＋3上所有点的集合，A∩B＝?，所以两直线平行或直线y＝kx＋3过点(－1,1)，所以k＝2或k＝－3. 例3 【答案】 A 解析：由于T∪V＝Z，故整数1一定在T，V两个集合中的一个中，不妨设1∈T，则?a，b∈T， 由于a，b,1∈T，则a·b·1∈T，即ab∈T，从而T对乘法封闭； 另一方面，当T＝{非负整数}，V＝{负整数}时，T关于乘法封闭，V关于乘法不封闭，故D不对； 当T＝{奇数}，V＝{偶数}时，T，V显然关于乘法都是封闭的，故B，C不对． 从而本题就选A. 例4 证明：(1) ax－bx2≤1对x∈R恒成立，又b＞0, ∴ a2－4b≤0，∴ 0＜a≤2b. (2) 必要性，∵ ?x∈[0,1]，|f(x)|≤1恒成立，∴ bx2－ax≤1且bx2－ax≥－1， 显然x＝0时成立， 111 对x∈(0,1]时a≥bx－且a≤bx＋，函数f(x)＝bx－在x∈(0,1]上单调增，f(x)最大值 xxxf(1)＝b－1. 1111 函数g(x)＝bx＋在?0，?上单调减，在?，1?上单调增，函数g(x)的最小值为g??x?b??b??b?＝2b，∴ b－1≤a≤2b，故必要性成立； a2a2aa112 充分性：f(x)＝ax－bx＝－b(x－)＋，＝×≤1×≤1， 2b4b2b2bbba2 f(x)max＝≤1，又f(x)是开口向下的抛物线，f(0)＝0，f(1)＝a－b， 4b f(x)的最小值从f(0)＝0，f(1)＝a－b中取最小的，又a－b≥－1， ∴ －1≤f(x)≤1，故充分性成立； 综上命题得证． 变式训练 命题甲：方程x2＋mx＋1＝0有两个相异负根；命题乙：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根，这两个命题有且只有一个成立，求实数m的取值范围． 2 ??Δ1＝m－4＞0， 解： 使命题甲成立的条件是： ??m＞2. ?x1＋x2＝－m＜0? ∴ 集合A＝{m|m>2}． 5