2 009??1111
1 004＋?＝f??，又f?－?＝－f?4＋?＝ ∴ f?＝f2??2??2???2??2?1??1??2 009??1?＝－2f?－1?＝－4. －f?，f＋f＝2f?2??2??2??2??2?
1
－1，? 解析：x∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,24. ?2??＋2m]；m＜0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m，2＋2m]?[－1,3]；m＜11
－1，?. 0，[2＋2m,2－m]?[－1,3]得0≤m≤或－1≤m<0，故实数m的取值范围是?2??2例题选讲
例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x－5)(a＞0)．
∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.
由已知得6a＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x－5)＝2x2－10x(x∈R)．
37
(2) 方程f(x)＋＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0.设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)
x＝6x2－20x＝2x(3x－10)．
1010
0，?时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈?，＋∞?时，h′(x)＞0，h(x)是当x∈?3???3?增函数．
10?1?3，10?，?10，4?∵ h(3)＝1＞0，h?＝－＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间3??3?3???27内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m37
＝3，使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不同的实数根．
x
变式训练 已知函数y＝f (x)是定义在R上的周期函数，周期T＝5，函数y＝f(x)(－1≤x≤1)的图象关于原点对称．又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x＝2时函数取得最小值－5.
(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；
(2)求y＝f(x)，x∈[1,4]的解析式； (3)求y＝f(x)在[4,9]上的解析式．
(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.
(2)解： 当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x－2)2－5(a＞0)， 由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a＝2， ∴ f(x)＝2(x－2)2－5(1≤x≤4)．
(3)解： ∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k＝－3，∴ 当0≤x≤1时，f(x)＝－3x，从而当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x，∴ 当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴ f(x)＝f(x－5)＝－3(x－5)＝－3x＋15，
当6＜x≤9时，1＜x－5≤4，∴ f(x)＝f(x－5)＝2[(x－5)－2]2－5＝2(x－7)2－5，∴ f(x)
??－3x＋15，4≤x≤6，＝? 2
?2?x－7?－5，6＜x≤9.?
11
点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．
例2 解： (1) 当a＝0时，f(x)＝x2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2
＝x2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．
a
当a≠0时，f(x)＝x2＋(a≠0，x≠0)，
x
取x＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，
∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x1＜x2，
aa?x1－x2?2
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2[x1x2(x1＋x2)－a]， 2－＝x1x2x1x2
要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x1)－f(x2)＜0恒成立． ∵ x1－x2＜0，x1x2＞4，即a＜x1x2(x1＋x2)恒成立． 又∵ x1＋x2＞4, ∴ x1x2(x1＋x2)＞16. ∴ a的取值范围是(－∞，16]．
(解法2)当a＝0时，f(x)＝x2，显然在[2，＋∞)为增函数． a
当a＜0时，反比例函数在[2，＋∞)为增函数，
xa
∴ f(x)＝x2＋在[2，＋∞)为增函数．
x当a＞0时，同解法1.
a
(解法3)f′(x)＝2x－2≥0，对x∈[2，＋∞)恒成立．∴ a≤2x3而y≤2x3.在[2，＋∞)
x上单调增，最小值为16，∴ a≤16.
点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x－a|＝|2x＋a|，解得a＝0.
?x＋2x－a，x≥2a，
(2) f(x)＝?1
x－2x＋a，x＜a，?2
22
1
1
当x≥a时，f(x)＝x2＋2x－a＝(x＋1)2－(a＋1)，
2
1
由a＞2，x≥a，得x＞1，从而x＞－1，又f′(x)＝2(x＋1)，
2a?a21?故f(x)在x≥a时单调递增，f(x)的最小值为f?2?＝；
241
当x＜a时，f(x)＝x2－2x＋a＝(x－1)2＋(a－1)，
2
a
故当1＜x＜时，f(x)单调递增，当x＜1时，f(x)单调递减，
2则f(x)的最小值为f(1)＝a－1；
?a－2?2a2
由－(a－1)＝＞0，知f(x)的最小值为a－1. 44点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．
12
变式训练 已知函数f(x)＝x|x－2|.设a＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．
22??x－2x＝?x－1?－1，x≥2，
解： f(x)＝x|x－2|＝?2 2
?－x＋2x＝－?x－1?＋1，x＜2.?
∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．
① 当0＜a≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；
② 当1＜a≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；
③ 当a＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a－2)－1＝a2－2a－1＞0, 解得a＞1＋2. 若2＜a≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； 若a＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a－2)．
综上，当0＜a＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a－2)．
例4 解： 设y＝f(x)，
(1) a＝1时，f(x)＝x＋1＋|x|，
当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋1＋x为增函数，y的取值范围为(1,1＋2]． 当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1－x，令t＝x＋1，0≤t≤1，
155
t－?2＋，0≤t≤1，y的取值范围为?1，?. 则x＝t2－1，y＝－??2?4?4?5
∵ ＜1＋2， 4
∴x∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．
(2) 令t＝x＋a，则x＝t2－a，t≥0，y＝g(t)＝t＋a|t2－a|. ① a＝0时，f(x)＝x无单调减区间；
11
－，＋∞?上g(t)是减函数，则在?2－a，＋∞?② a＜0时，y＝g(t)＝at2＋t－a2，在??2a??4a?上f(x)是减函数．∴a＜0不成立．
22
?－at＋t＋a，0≤t≤a，
③ a＞0时，y＝g(t)＝?2
?at＋t－a2，t＞a.
311
仅当＜a，即a＞时，
2a2
11
，a?时，g(t)是减函数，即x∈?2－a，0?时，f(x)是减函数． 在t∈??2a??4a?∴n－m＝a－
131
，即(a－2)(16a2＋a＋2)≤0. ∴a≤2. 2≤4a16
故a的取值范围是?高考回顾
?31?，2?. ?4?
1
1. 解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到． 2
13
ex＋ex
2. g(x)＝ 解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)
2
－
＝f(x)－g(x)＝ex.
－
ex＋ex
又因为f(x)＋g(x)＝e，所以g(x)＝. 2
－
x
3. [－2,7] 解析：设x1∈[0,1]，则f(x1)＝x1＋g(x1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R周期为1的函数，∴ 当x2∈[1,2]时，f(x2)＝x1＋1＋g(x1＋1)＝1＋x1＋g(x1)＝1＋f(x1)∈[－1,6]，当x2∈[2,3]时，f(x2)＝x1＋2＋g(x1＋2)＝2＋x1＋g(x1)＝2＋f(x1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．
4. 4 解析：AB＝22，直线AB的方程为x＋y＝2，在y＝x2上取点C(x，y)，点C(x，
|x＋y－2|
y)到直线AB的距离为2，＝2，|x＋x2－2|＝2，此方程有四个解．
2
5. 解：(1) 当a＞0，b＞0时，任意x1，x2∈R，x1＜x2， 则f(x1)－f(x2)＝a(2x1－2x2)＋b(3x1－3x2)，
∵ 2x1＜2x2，a＞0?a(2x1－2x2)＜0,3x1＜3x2，b＞0?b(3x1－3x2)＜0， ∴ f(x1)－f(x2)＜0，函数f(x)在R上是增函数．
当a＜0，b＜0时，同理函数f(x)在R上是减函数．
3?xa
(2) f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0，当a＜0，b＞0时，?＞－，则 ?2?2ba3aa
－?；当a＞0，b＜0时，??x＜－，则x＜log1.5?－?. x＞log1.5??2b??2??2b?2b
6. 解：(1) 由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，
??200a＋b＝0，
显然v(x)＝ax＋b在[20,200]是减函数，由已知得?解得
?20a＋b＝60，?
?
?200?b＝3.
1a＝－，
3
故
60，0≤x≤20，??
函数v(x)的表达式为v(x)＝?1
?200－x?，20 60x，0≤x≤20，?? (2) 依题意并由(1)可得f(x)＝?1 ??3x?200－x?，20 当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 11x＋?200－x??210 000 当20 10 000 . 3 10 000 ≈3 333， 3 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时． 14 第3讲 基本初等函数 1. 掌握指数函数的概念、图象和性质． 2. 理解对数函数的概念、图象和性质． 3. 能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题． 4. 了解幂函数的定义，熟悉常见幂函数的图形与性质． 1. 函数y＝loga(x＋2)＋1(a>0，a≠1)的图象经过的定点坐标为________． 2.函数y＝lg(x2－2x)的定义域是________. 3.函数y＝ax(a>0，a≠1)在R上为单调递减函数，关于x的不等式a2x－2ax－3>0的解集为________． 4.定义：区间[x1，x2](x1 ax2＋1 【例1】 函数f(x)＝(a，b，c∈Z)是奇函数，且f(1)＝2，f(2)<3. bx＋c(1) 求a，b，c的值； (2) 当x<0时，讨论f(x)的单调性． 【例2】 已知函数f(x)＝2x－ 1. 2|x|(1) 若f(x)＝2，求x的值； (2) 若2tf(2t)＋mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围． 【例3】 已知函数g(x)＝ax2－2ax＋1＋b(a≠0，b<1)，在区间[2,3]上有最大值4，最g?x? 小值1，设f(x)＝. x 15