(1) 求a，b的值； (2) 不等式f(2x)－k·2x≥0在x∈[－1,1]上恒成立，求实数k的取值范围；
2
(3) 方程f(|2x－1|)＋k?|2x－1|－3?＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．
??
【例4】 (2011·盐城二模)已知函数f(x)＝
x＋a
是定义在R上的奇函数，其值域为x2＋b
?－1，1?. ?44?
(1) 试求实数a、b的值；
(2) 函数y＝g(x)(x∈R)满足：当x∈[0,3)时，g(x)＝f(x)；g(x＋3)＝g(x)lnm(m≠1)． ① 求函数g(x)在x∈[3,9)上的解析式；
② 若函数g(x)在x∈[0，＋∞)上的值域是闭区间，试探求实数m的取值范围，并说明理由．
1. (2011·广东)设函数f(x)＝x3cosx＋1.若f(a)＝11，则f(－a)＝________.
2.(2011·江苏)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．
1x??2，x≤1，
3.(2011·辽宁)设函数f(x)＝?则满足f(x)≤2的x的取值范围是
?1－logx，x>1，?2
－
________．
4.(2011·山东)已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________.
2
5.(2009·山东)已知函数f(x)＝x－＋a(2－lnx)(a>0)，讨论f(x)的单调性．
x
6.(2011·陕西)设f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)． (1) 求g(x)的单调区间和最小值； 1?(2) 讨论g(x)与g??x?的大小关系；
16
1
(3) 求实数a的取值范围，使得g(a)－g(x)＜对任意x＞0成立．
a
(2011·常州模考)(本小题满分16分)已知a为实数，函数f(x)＝(1＋ax)ex，函数g(x)＝1
，令函数F(x)＝f(x)·g(x)． 1－ax
(1) 若a＝1，求函数f(x)的极小值； 1
(2) 当a＝－时，解不等式F(x)＜1；
2
(3) 当a＜0时，求函数F(x)的单调区间． 解：(1) 当a＝1时，f(x)＝(1＋x)ex.
则f′(x)＝(x＋2)ex.令f′(x)＝0，得x＝－2.(1分) 列表如下：
x f′(x) f(x) (－∞，－2) － ? －2 0 极小值f(－2) －(－2，＋∞) ＋ ? ∴ 当x＝－2时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(－2)＝－e2.(3分) 2－xx1
(2) 当a＝－时，F(x)＝e，定义域为{x|x≠－2，x∈R}．
22＋x
?2－x?′ex＋2－x(ex)′＝－xe＜0，
∵ F′(x)＝??2＋x?2＋x?2?2＋x?
∴ F(x)在(－∞，－2)及(－2，＋∞)上均为减函数．(5分)
∵ 当x∈(－∞，－2)时，F(x)＜0，∴ x∈(－∞，－2)时，F(x)＜1. ∵ 当x∈(－2，＋∞)时，F(0)＝1，∴ 由F(x)＜1＝F(0)，得x＞0. 综上所述，不等式F(x)＜1的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．(7分) 1＋axx1??
x∈R，x≠??. (3) 函数F(x)＝e，定义域为?x?a????1－ax2a＋1－a2?x2－2?a?x－ax＋2a＋1x?
当a＜0时，F′(x)＝e＝e.
?1－ax?2?1－ax?222
2x
2a＋1
令F′(x)＝0，得x2＝2.(9分)
a1
① 当2a＋1＜0，即a＜－时，F′(x)＜0.
2
111
－∞，?∪?，＋∞?.(11分) ∴ 当a＜－时，函数F(x)的单调减区间为?a??a??22a＋12a＋12a＋11
② 当－＜a＜0时，解x2＝2得x1＝，x2＝－. 2aaa2a＋11
∵ ＜，
aa
17
11
－∞，?，x∈?，x1?，x∈(x2，＋∞)； ∴ 令F′(x)＜0，得x∈?a???a?令F′(x)＞0，得x∈(x1，x2)．(13分) 1
∴ 当－＜a＜0时，函数F(x)的单调减区间为
22a＋1??2a＋11?； ?－∞，1?∪?∪????，－，＋∞a??a?a??a?函数F(x)单调增区间为?
2a＋1??2a＋1
?.(15分) ，－
a??a
1
③ 当2a＋1＝0，即a＝－时，由(2)知，函数F(x)的单调减区间为(－∞，－2)∪(－2，
2＋∞)．(16分)
第3讲 基本初等函数
1. 已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)且在区间[0,2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4＝________.
【答案】 －8 解析：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f(－x)，对f(x)是奇函数，函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)＝m(m>0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4＝－12＋4＝－8.
2. 已知函数f(x)＝x－(k－k＋1)x＋5x－2，g(x)＝kx＋kx＋1，其中k∈R. (1) 设函数p(x)＝f(x)＋g(x)．若p(x)在区间(0,3)上不单调，求k的取值范围；
3
2
2
22
?g?x?，x≥0，?
(2) 设函数q(x)＝?是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在唯一的
??f?x?，x＜0.
非零实数x2(x2≠x1)，使得q′(x2)＝q′(x1)成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理
由．
解： (1)因p(x)＝f(x)＋g(x)＝x3＋(k－1)x2＋(k＋5)x－1，
p′(x)＝3x2＋2(k－1)x＋(k＋5)，因p(x)在区间(0,3)上不单调，所以p′(x)＝0在(0,3)?3x2－2x＋5?
上有实数解，且无重根，由p′(x)＝0得k(2x＋1)＝－(3x－2x＋5)，∴ k＝－＝
2x＋1
2
91039
－??2x＋1?＋2x＋1－3?，令t＝2x＋1，有t∈(1,7)，记h(t)＝t＋，则h(t)在(1,3]上单调递4?t?9减，在[3,7)上单调递增，所以有h(t)∈[6,10]，于是(2x＋1)＋∈[6,10)，得k∈(－5，－
2x＋12]，而当k＝－2时有p′(x)＝0在(0,3)上有两个相等的实根x＝1，故舍去，所以k∈(－5，
18
－2)．
(2) 当x＜0时，有q′(x)＝f′(x)＝3x2－2(k2－k＋1)x＋5；
当x＞0时，有q′(x)＝g′(x)＝2k2x＋k，因为当k＝0时不合题意，因此k≠0，
下面讨论k≠0的情形，记A＝(k，＋∞)，B＝(5，＋∞)①，当x1＞0时，q′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以要使q′(x2)＝q′(x1)成立，只能x2＜0且A?B，因此有k≥5，②当x1＜0时，q′(x)在(－∞，0)上单调递减，所以要使q′(x2)＝q′(x1)成立，只能x2＞0且B?A，因此k≤5，综合①②k＝5；
当k＝5时A＝B，则?x1＜0，q′(x1)∈B＝A，即?x2＞0，使得q′(x2)＝q′(x1)成立，因为q′(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x2的值是唯一的；
同理，?x1＜0，即存在唯一的非零实数x2(x2≠x1)，使q′(x2)＝q′(x1)成立，所以k＝5满足题意．
基础训练 1. (－1,1)
2. {x|x＜0或x＞2}
3. (－∞，loga3) 解析：由题知0＜a＜1，不等式a2x－2ax－3＞0可化为(ax－3)(ax＋1)＞0，ax＞3，x＜loga3.
4.
151115 解析：由函数y＝|log0.5x|得x＝1，y＝0；x＝4或x＝时y＝2,4－＝. 4444
例题选讲
例1 解：(1)函数f(x)为奇函数，f(－x)＝－f(x)恒成立，∴ c＝0，又由f(1)＝2，f(2)＜a＝2b－1，??x2＋1313得?4a＋1 0＜b＜，b∈Z ∴ b＝1，a＝1.(2) f(x)＝＝x＋，函数在(－∞，－
2xx＜3，?2b?1)上递增，在(－1,0)上递减．
－2x＋b
变式训练 已知定义域为R的函数f(x)＝x＋1是奇函数．
2＋a
(1) 求a，b的值；
(2) 若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值范围． b－1
解： (1) 因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0，即＝0?b＝1, ∴ f(x)＝
a＋211－21－21－2
＝－?a＝2. x＋1，又由f(1)＝ －f(－1)知a＋2a＋4a＋1
x
经检验符合题意，∴ a＝2，b＝1.
1－2x11
(2) (解法1)由(1)知f(x)＝， x＋1＝－＋x22＋12＋2
易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：
f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0等价于f(t2－2t)＜－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，
因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t＞k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k＞0，从而1
判别式Δ＝4＋12k＜0?k＜－.
3
1－2x1－2t2－2t1－22t2－k
(解法2)由(1)知f(x)＝＋＜0，即：＋.又由题设条件得：2＋2x12＋2t2－2t＋12＋22t2－k＋1
19
(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)＜0，
整理得23t2－2t－k＞1，因底数2＞1，故： 3t2－2t－k＞0对一切t∈R均成立，从而判1
别式Δ＝4＋12k＜0?k＜－. 3
1
例2 解：(1)当x＜0时，f(x)＝0；当x≥0时，f(x)＝2x－x，
21
由条件可知2x－x＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±2，
2∵ x＞0，∴ x＝log2(1＋2)．
11
22t－2t?＋m?2t－t?≥0， (2) 当t∈[1,2]时，2t?2???2?即m(22t－1)≥－(24t－1), ∵ 22t－1＞0，∴ m≥－(22t＋1)．
∵ t∈[1,2]，∴ －(22t＋1)∈[－17，－5]． 故m的取值范围是[－5，＋∞)．
变式训练 设函数f(x)＝ax满足条件：当x∈(－∞，0)时，f(x)＞1.当x∈(0,1]时，不等式f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)恒成立，求实数m的取值范围．
解： 由已知得0＜a＜1，由f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)，x∈(0,1]恒成立
?3mx－1＜1＋mx－x2，???在x∈(0,1]上恒成立． 2
?1＋mx－x＜m＋2，?
22
???2mx＜2－x，?2mx＜2－x，
?整理，当x∈(0,1]时，?2恒成立．当x＝1时，2恒成?m?x－1?＜1＋x.???m?x－1?＜1＋x
1
立，则m＜.
2
??
当x∈(0,1)时，?1＋x
m＞??x－1
2－x211
∴ ＞，∴ m≤. 2x22
2－x2
m＜，2x
2
2－x21x
恒成立， ＝－在(0,1)上单调减，
2xx2
x2＋1x2＋12
又∵ ＝(x－1)＋＋2，在x∈(0,1)上是减函数，∴ ＜－1.
x－1x－1x－1
x2＋1∴ m＞恒成立?m≥－1，当x∈(0,1)时，
x－1
??
?1＋x??m＞x－1，2
2－x2m＜，2x
1－1，?. 恒成立?m∈?2??
综上，使x∈(0,1]时，f(3mx－1)＞f(1＋mx－x2)＞f(m＋2)恒成立，实数m的取值范围1
－1，?. 是?2??
例3 解：(1) g(x)＝a(x－1)2＋1＋b－a， 当a＞0时，g(x)在[2,3]上为增函数，
20