使命题乙成立的条件是：Δ2＝16(m－2)2－16<0，∴ 1＜m＜3. ∴ 集合B＝{m|1 若命题甲、乙有且只有一个成立，则有： ① m∈A∩ B，② m∈ A∩B. 若为①，则有：A∩若为②，则有：B∩ B＝{m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}＝{m|m≥3}； A＝{m|1 综合①、②可知所求m的取值范围是{m|1 2. 若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数 3. 4 解析：A＝(0,4]，A?B, ∴ a＞4, ∴ c＝4. 4. 8 解析：画韦恩图．设同时参加数学和化学小组的有x人，则20－x＋11＋x＋4＋9－x＝36，x＝8. 5. 3或4 解析：令f(x)＝x2－4x＋n，n∈N*，f(0)＝n＞0, ∴ f(2)≤0即n≤4，故n＝1,2,3,4，经检验，n＝3,4适合，或直接解出方程的根，x＝2±4－n，n∈N*，只有n＝3,4适合． 6. 3 解析：正确的是①③④，在②中－3∈[2]才对． 6 第2讲 函数、图象及性质 1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一． 2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数． 3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题． 1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，则f(x)＝________. ?x＋1?0 2.函数f(x)＝的定义域为________． |x|－x 11－?＝2，则f??3.函数f(x)的定义域是R，其图象关于直线x＝1和点(2 , 0)都对称，f??2??2?2009?＋f??2?＝________. 4.函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝mx＋2，对?x1∈[－1,2]，?x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数m的取值范围是________． 【例1】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12. (1) 求f(x)的解析式； 37 (2) 是否存在整数m使得方程f(x)＋＝0在区间(m，m＋1)内有且只有两个不等的实 x数根？若存在，求出m值；若不存在，说明理由． a 【例2】 已知函数f(x)＝x2＋(x≠0，常数a∈R)． x(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由； (2) 若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围． 【例3】 设函数f(x)＝x2＋|2x－a|(x∈R，常数a为实数)． 7 (1) 若f(x)为偶函数，求实数a的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值. 【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x＋a＋a|x|，a为实数． (1) 当a＝1，x∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域； 31 (2) 设m、n是两个实数，满足m＜n，若函数f(x)的单调减区间为(m，n)，且n－m≤， 16求a的取值范围． 1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝ x 为奇函数，则a＝________. ?2x＋1??x－a? 2.(2011·湖北)若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ex，则g(x)＝________. 3.(2011·上海)设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数，若f(x)＝x＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________． 4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为________． 5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性； (2) 若ab<0，求f(x＋1)>f(x)时x的取值范围． 6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数． (1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式； (2) 当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时) (2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log2x，g(x)＝log2x. (1) 如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； 8 f?x?＋g?x?－|f?x?－g?x?| (2) 求函数M(x)＝的最大值； 2 (3) 如果对不等式f(x2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 解：令t＝log2x，(1分) (1) h(x)＝(4－2log2x)·log2x＝－2(t－1)2＋2，(2分) ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log2x)， 当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x＞2时，f(x)＜g(x)，(5分) ?g?x?，f?x?≥g?x?，?log2x，0 ∴ M(x)＝? M(x)＝?(6分) ???f?x?，f?x?＜g?x?，?3－2log2x，x>2， 当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分) 当x＞2时，M(x)＜1.(8分) 综上：当x＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分) (3) 由f(x2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log2x)(3－log2x)＞k·log2x， ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]， ∴ (3－4t)(3－t)＞kt对一切t∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t＝0时，k∈R；(11分) ?3－4t??3－t?9 ②t∈(0,2]时，k＜恒成立，即k＜4t＋－15，(12分) tt993 ∵ 4t＋≥12，当且仅当4t＝，即t＝时取等号．(13分) tt29 ∴ 4t＋－15的最小值为－3. t综上：k＜－3.(14分) 第2讲 函数、图象及性质 1. 已知a＝ 5－1 ，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)＞f(n)，则m、n的大小关系2 为________． 【答案】 m＜n 解析： 考查指数函数的单调性 a＝5－1 ∈(0,1)，函数f(x)＝ax在R上递减．由f(m)＞f(n)得：m 2. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|. (1) 若f(0)≥1，求a的取值范围； (2) 求f(x)的最小值； (3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集． 点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力． 9 ??a＜0， 解：(1) 若f(0)≥1，则－a|a|≥1??2?a≤－1. ?a≥1? ∴ a的取值范围是(－∞，－1] (2) 当x≥a时，f(x)＝3x2－2ax＋a2， f?a?，a≥0，2a，a≥0，????2 f(x)min＝??a?＝?2a ，a＜0，f，a＜0????3??3 2 ??f?－a?，a≥0，－2a，a≥0，??22 ??当x≤a时，f(x)＝x＋2ax－a，f(x)min＝＝2 ?f?a?，a＜0???2a，a＜0， 2 2 －2a，a≥0，??2 综上f(x)min＝?2a ，a＜0.??3 (3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x2－2ax＋a2－1≥0，Δ＝4a2－12(a2－1)＝12－8a2. 当a≤－ 66 或a≥时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)； 22 a－3－2a2??a＋3－2a2?????x－??x－?≥0，6633???当－＜a＜时，Δ＞0，得：?? 22 ??x＞a，讨论得：当a∈? 26? 时，解集为(a，＋∞)； ，?22? 62?a－3－2a2??a＋3－2a2?? ?当a∈－，－时，解集为?a，∪???，＋∞2??233????22?a＋3－2a2??. ?当a∈－，时，解集为??，＋∞2??23??综上，当a∈?－∞，－ ? 6??222???∪时，，＋∞时，解集为(a，＋∞)，当a∈－，2??2??22?62?a＋3－2a2a－3－2a2?????解集为??，＋∞?，当a∈?－2，－2?时，解集为?a，33????a＋3－2a2?? ∪?，＋∞?. 3?? 基础训练 111. x2＋x 22 ??x＋1≠0，2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：??x＜0，x≠－1. ?|x|－x＞0? 3. －4 解析：函数图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 , 0) 对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)， 10