计量分别为
??k?(?1,?,?k)? (3.12) mk?mom(x1,?,xk)?(?j)?????1???k??1????k?0k??kln?(?1,?,?k)?ck?cum(x1,?,xk)?(?j)????1???k???1????k?0k (3.13)
（3）考查平稳随机信号x(n)的情况。
设x(n)为零均值的k阶平稳随机信号，令x1?x(n)，x2?x(n??1)，?，
xk?x(n??k?1)，则该信号的k阶矩mkx(?1,?,?k?1)定义为
mkx(?1,?,?k?1)?mom{x(n),x(n??1),?,x(n??k?1)} (3.14)
k阶累计量ckx(?1,?,?k?1)定义为
ckx(?1,?,?k?1)?cum{x(n),x(n??1),?,x(n??k?1)} (3.15)
上式中，?1,?,?k表示不同时刻变量的时间间隔，mom表示矩函数，cum表示累计量函数。
3.1.2 高阶矩与高阶累计量的相互转换关系
令{x1,?,xk}是k个随机变量组成的集合，其符号集为I?{1,2,?,k}，对符合集合I进行无交连非空分割为q个子集Ip，p?1,2,?,q，q为所有可能分割的子集合个数，即这种分割满足?qp?1Ip?I的无交连的非空子集合Ip的无序组合，其中?Ip表示各个子集合的并集。我们用mx(I)和cx(I)分别表示随机信号x(n)的k阶矩和k阶累计量，用mx(Ip)和cx(Ip)分别表示其符号子集为Ip的矩和累计量。则随机信号x(n)的累计量cx(I)可以用其矩mx(I)表示为
qcx(I)??qp?1?Ip?I(?1)q?1(q?1)!?mx(Ip) (3.16)
p?1随机信号x(n)的矩mx(I)可以用累计量cx(I)表示为
qmx(I)?q?p?1??cIp?Ip?1x(Ip) (3.17)
随机信号x(n)的高阶矩和高阶累计量的转换关系非常复杂，为了使用方便，现将随机信号x(n)的四阶以下下的矩和累计量转换关系归纳总结如下：
c1?m1?E[x]c2?m2?m1?E[(x?m1)]c3?m3?3m1m2?2m1?E[(x?m1)]c4?m4?3m2?4m1m3?12m1m2?6m1?E[(x?m1)]22443322 (3.18)
可见，二、三阶累量分别是二、三阶中心矩，当随机信号x(n)均值为零时，二、三阶累量就是二、三阶相关。但四阶及其更高阶累量不等于相应的中心距。 3.1.3 高斯信号的高阶矩与高阶累计量
令x是一高斯随机变量，它具有零均值，方差为?2，其概率密度函数为
f(x)?12??exp(?x22x?) (3.19)
则高斯随机变量x的矩生成函数为
?(?)?????f(x)ej?xdx?12??????exp(?x222??j?x)dx?exp(???222) （3.20)
求?(?)的各阶导数，可得
????(1)(2)(3)(4)(?)?(???)exp(???/2)(?)?(????)exp(???/2)(?)?(3?????)exp(???/2)(?)?(3??6?????)exp(???/2)?46284224632242222222 (3.21)
?令??0可得高斯随机变量的各阶矩为
m1?0,m2??,m3?0,m4?3?,? (3.22)
24推而广之，对任意整数k，高斯随机变量的矩可统一表示为
?0,mk??k?1?3?(k?1)?,k?奇数k?偶数 (3.23)
高斯随机变量x的累计量生成函数为
?(?)?ln?(?)?lnexp(???/2)????/22222 (3.24)
其各阶导数为
???(1)(2)(k)(?)????(?)???22 (3.25)
(?)?0,k?3,4,?令??0可得高斯随机变量的各阶累计量为
c1?0,c2??,ck?0,k?3,4,?2 (3.26)
由此可知，任意一个零均值的高斯随机变量的二阶矩和二阶累计量相同，均等于方差?2；其奇数阶矩恒为零，但偶数阶矩不等于零；而高阶（三阶及其以上各阶）累计量恒等于零。因此我们称高阶累计量对高斯随机信号是“盲的”。根据任何高斯过程的高阶累积量均等于零这一事实，我们得到一个非常重要的结论：如果一非高斯信号是在与之独立的加性高斯有色噪声中被观测的话，那么观测过程的高阶累积量将与非高斯信号过程的高阶累积量恒等。因而，使用高阶累积量作分析工具时，理论上可完全抑制高斯有色噪声的影响。但是，高阶矩却无此优点，因为高斯过程的高阶矩并不恒等于零。
3.1.4 高阶矩与高阶累计量的性质
下面对理论研究中经常用到的高阶矩和高阶累计量的一些重要性质做简单介
x,?,kx)和cum(x1,?,xk)分别表示k个随机变量绍。为了叙述方便，用mom(1?x1,?,xk?的矩和累计量。
性质1 令?i为常数，xi为随机变量，其中i?1,?,k，则
kmom(?1x1,?,?kxk)???mom(x,?,x) (3.27a)
i1ki?1ki1kcum(?1x1,?,?kxk)???cum(x,?,x) (3.27b)
i?1性质2 矩和累计量关于它的变元是对称的，即
mom(x1,?,xk)?mom(xi1,?,xik) (3.28a) cum(x1,?,xk)?cum(xi1,?,xik) (3.28b)
其中(i1,?,ik)是(1,?,k)的任意一个排列。
性质3 矩和累计量相对其变元具有可加性，即
mom(x1?y1,x2?,xk)?mom(x1,x2?,xk)?mom(y1,x2?,xk) (3.29a) cum(x1?y1,x2?,xk)?cum(x1,x2?,xk)?cum(y1,x2?,xk) (3.29b)
这一性质意味着和的累计量等于累计量的和，术语“累计量”（cumulant）就因此而得名。
性质4 若随机变量?xi?和?yi?独立统一，则累计量具有“半不变性”，即
cum(x1?y1,?,xk?yk)?cum(x1,?,xk)?cum(y1,?,yk) (3.30a)
但高阶矩一般没有半不变性，即
mom(x1?y1,?,xk?yk)?mom(x1,?,xk)?mom(y1,?,yk) (3.30b)
这一性质给出了累计量的另一个名称——半不变量（semi-invariant）.
性质5 如果k个随机变量?x1,?,xk?的一个子集同其它部分独立，则
cum(x1,?,xk)?0 (3.31a) mom(x1,?,xk)?0 (3.31b)
性质6 若?为一常数，则
cum(x1??,x2,?,xk)?cum(x1,x2,?,xk) (3.32a) mom(x1??,x2,?,xk)?mom(x1,x2,?,xk) (3.32b)
由以上性质可知，信号分析的过程中，高阶累计量具有比高阶矩更多的优势，故常选用高阶累计量参数对信号进行分析。
3.2 高阶谱
众所周知，零均值的平稳随机信号x(n)的功率谱密度定义为其自相关函数的Fourier变换。类似的，我们也可分别引出对应于高阶矩和高阶累积量的谱的定义。 3.2.1 高阶矩谱和高阶累积量谱的定义
在定义功率谱时，我们要求自相关函数是绝对可求和的。同样的，为了保证高阶矩和高阶累计量的Fourier变换的存在性，也要求高阶矩和高阶累计量是绝对可求和的。
设高阶矩mkx(?1,?,???k?1)是绝对可和的，即
(?1,?,?k?1)|?????|m?1????k?1???kx (3.33)
则k阶矩谱定义为k阶矩的k?1维Fourier变换，即
k?1??Mkx(?1,?,?k?1)????mkx(?1,?,?k?1)exp??j??i?i? (3.34)
?1????k?1???i?1????设高阶累积量ckx(?1,?2,?,?k?1)是绝对可和的，即
??kx???|c?1????k?1???(?1,?,?k?1)|?? (3.35)
则k阶累积量谱定义为k阶累积量的k?1维Fourier变换，即
k?1??Skx(?1,?,?k?1)????ckx(?1,?,?k?1)exp??j??i?i? (3.36)
?1????k?1???i?1????高阶矩、高阶累计量、高阶矩谱和高阶累计量谱是主要的四种高阶统计量。一般情况下，多使用高阶累计量和高阶累计量谱，而高阶矩和高阶矩谱则很少使用，故常将高阶累计量谱简称为高阶谱。高阶谱也叫多谱，意即多个频率的谱。最常用的高阶谱是三阶谱和四阶谱，
??3xBx(?1,?2)???c?1????2????(?1,?2)e??j(?1?1??2?)2 (3.37)
?j(?1?1??2???3?3)2?Tx(?1,?2,?3)????c?1????2????3???(?1,?2,?3)e4x (3.38)
我们分别称之为双谱（Bispectum）和三谱（Trispectum）。下面将重点讨论双谱。 3.2.2 双谱的性质
性质1 双谱Bx(?1,?2)一般是复数，它具有振幅和相位，即
Bx(?1,?2)?Bx(?1,?2)exp(j?B(?1,?2)) (3.39)
式中Bx(?1,?2)和?B(?1,?2)分别表示双谱的振幅和相位。
性质2 双谱是双周期函数，两个周期均为2?，即
Bx(?1,?2)?Bx(?1?2?,?2?2?) (3.40)