性质3 零均值高斯信号的双谱为零。
性质4 三阶平稳零均值非高斯白噪声信号的双谱为常数。 性质5 双谱Bx(?1,?2)具有以下对称形式，
Bx(?1,?2)?Bx(?2,?1)?Bx(??1,??2)?Bx(??2,??1)?Bx(??1??2,?2)?Bx(?1,??1??2)?Bx(??1??2,?1)?Bx(?2,??1??2)** (3.41)
如图所示，对称线?1??2，2?1???2，2?2???1，?1???2，?1?0，?2?0将双谱的定义区域分成12个扇区，由双谱的对称性可知，只要知道三角区域（如图3.1区域1所示）内的双谱，即可完全描述所有的双?2?0,?1??2,?1??2??谱，其它扇区的双谱均可利用对称性由三角区的双谱获得。
图3.1 双谱的定义区域
性质6 对于持续时间有限的随机信号x(t)，如果其Fourier变换X(?)存在，则双谱可由下式确定，即
Bx(?1,?2)?X(?1)X(?2)X(?1??2)?X(?1)X(?2)X(??1??2)* (3.42)
3.2.3 双谱估计算法
类似由观测数据估计功率谱的两种周期图方法，即可推广得到双谱估计的两种非参数化方法。
令x(0),x(1),?,x(N?1)是零均值化的观测样本，其采样频率为fS。
（1）双谱估计的直接法
步骤1 将所给数据分成K段，每段含M个观测样本，记作x(k)(0)，x(k)(1)，? ，
x(k)(M?1)，其中k?1,2,?K。这里允许两段相邻数据间有重叠。
步骤2 计算离散Fourier变换（DFT）系数
X(k)(?)?1MM?1?n?0x(k)(n)exp(?j2?n?/M) (3.43)
式中??0,1,?,M/2；k?1,2,?,K。
步骤3 计算DFT系数的三阶相关
?(?,?)?bk121?L1L120ii??L1i2??L1??X(k)(?1?i1)X(k)(?2?i2)X(k)(??1??2?i1?i2) (3.44)
式中k?1,2,?,K，0??2??1,?1??2?fS/2，?0?fS/N0，并且N0和L1应选择为满足M?(2L1?1)N0的值。
步骤4 所给数据x(0),x(1),?,x(N?1)的双谱估计有K段双谱估计的平均值给出，即
?(?,?)?Bx122?fSN02?fSN01K?b?k?1Kk(?1,?2) (3.45)
式中?1??1，?2??2
（2）双谱估计的间接法
步骤1 将所给数据分成K段，每段含M个观测样本，记作x(k)(0)，x(k)(1)，? ，
x(k)(M?1)，其中k?1,2,?K。这里允许两段相邻数据间有重叠。
步骤2 设x(k)(0)，x(k)(1)，? ，x(k)(M?1)为第k段数据，计算各段的三阶累计量的估计值
c(k)(i,j)?1MM2?n??M1x(k)(n)x(k)(n?i)x(k)(n?j) (3.46)
M2?min(M?1,M?1?i,M?1?j)，式中M1?max(0,?i,?j)，以保证0?n?i?M?1，
0?n?j?M?1。
步骤3 取所有段的三阶累计量的平均值作为整个观测数据的三阶累计量估计，即
?(i,j)?c1KK?ck?1(k)(i,j) (3.47)
步骤4 计算双谱估计
?(?,?)?Bin12LL??i??Ll??L?(i,l)w(i,l)exp(?j(?1i??l)) (3.48) c式中L?M?1，而w(i,l)为二维滞后窗函数。
（3）间接法双谱估计的窗函数
双谱估计的二维窗函数最早由Sasaki，Sato与Yamashita推导和讨论。他们证明了二维窗函数必须满足以下四个约束条件：
a）w(m,n)?w(n,m)?w(?m,n?m)?w(m?n,?n)； b）w(m,n)?0，若(m,n)位于累积量估计值的支撑区间外； c）在原点等于1，即w(0,0,?,0)?1，归一化条件。
d）窗函数的傅里叶变换是实非负的，即W(?1,?2)?0,?(?1,?2)。
显然约束条件（a）是与三阶累积量的对称性相对应的。满足上述条件的二维窗函数w(m,n)可以利用一维滞后窗函数d(m)来构造：
w(m,n)?d(m)d(n)d(n?m) (3.49)
其中，滞后窗d(m)应满足下列条件：
?d(m)?d(?m)??d(m)?0,m?L? (3.50) d(0)?1???D(?)?0,??D(?)是d(m)的傅立叶变换。
满足以上条件的二维窗函数很多，常用的Hamming窗、Parzen窗等。 Hamming窗：
?m?), |m|?L?0.54?0.46cos( (3.51) dham(m)??L?0, |m| ?L?Parzen窗：
???1?6??????dPar(m)??2?1????0???m??m??6???,L?L??m??,L?323m?L/2L/2?m?Lm?L (3.52)
用以上一维滞后窗构造的二维最优窗和Hamming窗如图3.2所示。
a二维最优窗立体图
b二维最优窗平面图
c二维Hamming窗立体图
d二维Hamming窗平面图
e二维Parzen窗立体图
f二维Parzen窗平面图
图3.2计算双谱时所使用的二维窗函数
3.2.4 几种典型信号的双谱
如图3.3所示，分别给出了方波、余弦波、双脉冲波和30Hz的Ricker子波等几种典型信号的三阶累计量与双谱的图形。