图3.3几种典型信号的三阶累计量与双谱的图形
3.3 Wigner－Ville高阶时频分析
（1）Wigner 双谱时频分布定义为：
W2x(t,?1,?2)????1?2x(t?23*13?1?1313?2)?x(t?23?1?13?2) (3.53)
?x(t??2??1)exp{?j(?1?1??2?2)}d?1d?2
（2）Wigner 三谱时频分布定义为
W3x(t,?1,?2,?3)?????1?2?3x(t?24*1414?1??1?1414?2?14?3)?x(t?343414?1??1?1414?2??2)14?3)?x(t??2??3)?x(t??3? (3.54)
?exp{?j(?1?1??2?2??3?3)}d?1d?2d?3（3）在模糊函数域压制交叉项
为了压制wigner高阶谱的交叉项，Choi和Williams提出了如下模糊函数域核的
函数
?(?,?)?exp(???/?) (3.55)
2223.4 合成地震记录的高阶谱分析及计算
3.4.1地震反射系数序列的广义高斯分布特性
在假设地下介质是分层均匀的基础上，Walden 和 Hosken认为反射系数序列基本上符合广义高斯分布，这是他们在研究根据测井曲线求出的反射系数序列中得出的基本结论。在零均值的情况下，广义的高斯分布可以简化成
g(r)??2???(1?)exp?r?????????? (3.56)
式中?(?)表示伽马函数（Gamma function），??0 是一个比例参数，??0 是一个控制分布的形状参数。Walden 和 Hosken在研究中发现，地震反射系数序列的分布介于??0.6到1.6之间（参见图3.4）。
0.4图例a=0.60.3a=1.0a=1.5G(r)a=2.00.20.10.0-4.0-2.00.02.04.0r
2)（a = 2.0为标准正态分布）
图3.4地震反射系数的广义高斯分布(??根据以上结论，我们生成以下四个广义高斯分布反射系数系列，比例系数是
??2，均值和方差分别为0和1，序列的长度是1024个样点（其中??2.0时为
标准正态分布），并选用30Hz主频的Ricker子波合成地震记录，如下图所示。
Reflectivity Series with Generalized Gaussian Distribution10alpha=0.60-100100.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=1.00-10500.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=1.50-5500.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=2.00-500.20.40.60.81time (s)1.21.41.61.82 图3.5 具有广义高斯分布的地震反射系数序列
alpha = 0.6,1.0,1.5，2.0 为广义高斯分布反射系数系列，采样间隔为2 ms
Synthetic Seismic Traces with Generilized Gaussian Distribution10alpha=0.60-100100.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=1.00-101000.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=1.50-101000.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=2.00-1000.20.40.60.81time (s)1.21.41.61.82 图3.6 具有广义高斯分布的地震反射道， 选用主频30Hz的Ricker子波，采样间隔是2 ms
Synthetic seismic traces with GGD + 10 Hz Ricker Signal10alpha=0.60-101000.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=1.00-101000.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=1.50-101000.20.40.60.811.21.41.61.82alpha=2.00-1000.20.40.60.81time (s)1.21.41.61.82 图3.7 加有低频信号的具有广义高斯分布的合成地震记录道 在上图所示的地震记录道上，加一个Ricker子波信号 （叠加开始位置在时间1s处，长度0.24s，主频为10Hz）
3.4.2广义高斯分布的双谱分析
Power Spectra ( 512 P)80? 图 例?alpha = 0.6alpha = 1.0Power Spectra40alpha = 1.5alpha = 2.0004080120160Frequency (Hz)
图3.8 广义高斯分布合成地震反射道的功率谱
800Bispectra??图 例 Bispectra (Magnitude)alpha = 0.6alpha = 1.0alpha = 1.5400alpha = 2.0004080120160Frequency (Hz)
图3.9广义高斯分布合成地震反射道的双谱（取对角切片的正频率部分）
Power Spectra ( added 10Hz signal)80?图 例 ?alpha = 0.6alpha = 1.0alpha = 1.5alpha = 2.0Power spectra40004080120160Frequency
图3.10 加有低频信号的具有广义高斯分布的合成地震记录道的功率谱
Bispectra ( Added 10 Hz signal )图 例 ??alpha = 0.6alpha = 1.0alpha = 1.5alpha = 2.0800Bispectra (Magnitude)400004080120160Frequency (Hz)