概率论与数理统计（理工类，第四版）吴赣昌主编课后习题答案第四

第四章 随机变量的数字特征 4.1 数学期望

习题1

设随机变量X服从参数为p的0-1分布，求E(X). 解答：

依题意，X的分布律为

X 0 1 P 1-p p 由E(X)=∑i=1∞xipi, 有

E(X)=0?(1-p)+1?p=p.

习题2

袋中有n张卡片，记有号码1,2,…,n. 现从中有放回抽出k张卡片来，求号码之和X的期望. 分析： . 解答：

设Xi表示第i次取得的号码，则X=∑i=1kXi, 且

P{Xi=m}=1n,

其中m=1,2,?,n,i=1,2,?,k, 故

E(Xi)=1n(1+2+?+n)=n+12,i=1,2,?,k,

从而

E(X)=∑i=1kE(Xi)=k(n+1)2.

习题3

某产品的次品率为0.1, 检验员每天检验4次. 每次随机地抽取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X表示一天中调整设备的次数，试求E(X)(设诸产品是否为次品是相互独立的). 解答：

X的可能取值为0,1,2,3,4, 且知X～b(4,p), 其中

p=P{调整设备}

=1-C101×0.1×0.99-0.910≈0.2639, 所以E(X)=4×p=4×0.2639=1.0556.

习题4

据统计，一位60岁的健康(一般体检未发生病症)者，在5年之内仍然活着和自杀死亡的概率为p(0a), 应如何确定b才能使公司可期望获益，若有m人参加保险，公司可期望从中收益多少？ 解答：

令X=“从一个参保人身上所得的收益”，由X的概率分布为

X aa-b pk p1-p ∴E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)>0, 即a00,x≤0, 工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换. 若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望. 解答： 先求出利润函数L(X). L(X)={100,X≥1-300+100=-200,X<1, E(L)=100×P{X≥1}-200×P{X<1} =100×∫1+∞14e-x4dx-200×∫0114e-x4dx =100×e-14+200×e-14-200≈33.64(元). 习题10 设随机变量X的概率密度为f(x)={e-x,x>00,x≤0, 求：(1)Y=2X的数学期望；(2)Y=e-2X的数学期望. 解答： (1)E(Y)=E(2X)=∫-∞+∞2xf(x)dx=∫0+∞2xe-xdx=2. (2)E(e2X)=∫-∞+∞e-2xf(x)dx=∫0+∞e-3xdx=13. 习题11 设(X,Y)的分布律为 Y\\X 123 -101 0.20.10.00.10.00.30.10.10.1 (1)求E(X),E(Y); (2)设Z=Y/X, 求E(Z); (3)设Z=(X-Y)2, 求E(Z). 解答： (1)先求X与Y的边缘分布律，然后求E(X),E(Y). X 1 2 3 pk 0.4 0.2 0.4 Y -1 0 1 pk 0.3 0.4 0.3 所以E(X)=1×0.4+2×0.2+3×0.4=2.0, E(Y)=-1×0.3+0×0.4+1×0.3=0. (2)可以利用X,Y的联合分布先求出Z的分布律，然后求E(Z), 也可以利用定理直接求E(Z), 下面采取直接求法. E(Z)=E(YX)=∑i∑jyjxipij =(-1×0.2+1×0.1)+(-12×0.1+12×0.1)+(-13×0+13×0.1) =-115.

(3)E(Z)=E[(X-Y)2]=∑i∑j(xi-yj)2pij

=(1-(-1))2×0.2+(1-0)2×0.1+(1-1)2×0.1

+32×0.1+22×0.0+12×0.1+42×0.0+32×0.3+22×0.1 =5.

也可以利用期望的性质求E(Z), 得

E[(X-Y)2]=E(X2-2XY+Y2)

=E(X2)-2E(XY)+E(Y2)

=(12×0.4+22×0.2+32×0.4)-2[-1×0.2 +1×0.1+(-2)×0.1+2×0.1+(-3)×0.0+3×0.1] +(-1)2×0.3+12×0.3 =5.

习题12

设(X,Y)的概率密度为

f(x,y)={12y2,0≤y≤x≤10,其它,

求E(X),E(Y),E(XY),E(X2+Y2). 解答： 如右图所示.

E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xx?12y2dy=45, E(Y)=∫-∞+∞∫-∞+∞yf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xy?12y2dy=35, E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫01dx∫0xxy?12y2dy=12, E(X2+Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞(x2+y2)f(x,y)dxdy

=∫01dx∫0x(x2+y2)?12y2dy=23+615=1615. 习题13

设X和Y相互独立，概率密度分别为

?1(x)={2x,0≤x≤10,其它,?2(y)={e-(y-5),y>50,其它,

求E(XY). 解答：

解法一 由独立性.

E(XY)=E(X)?E(Y)=∫01x?2xdx∫0+∞ye-(y-5)dy=23×6=4.

解法二 令z=y-5, 则

E(XY)=E(X)?E(Y)=∫01x?2xdx?E(z+5)=23×(1+5)=4.

4.2 方差

习题1

设随机变量X服从泊松分布，且P(X=1)=P(X=2), 求E(X),D(X). 解答：

由题设知，X的分布律为

P{X=k}=λkk!e-λ(λ>0)

由P{X=1}=P{X=2}, 得λ11!e-λ=λ22!e-λ，即

λ=0(舍去), λ=2.

所以E(X)=2,D(X)=2. 习题2

下列命题中错误的是().

(A)若X～p(λ), 则E(X)=D(X)=λ;

(B)若X服从参数为λ的指数分布，则E(X)=D(X)=1λ; (C)若X～b(1,θ),则E(X)=θ,D(X)=θ(1-θ);

(D)若X服从区间[a,b]上的均匀分布，则E(X2)=a2+ab+b23.

解答： 应选(B).

E(X)=1λ,D(X)=1λ2.

习题3

设X1,X2,?,Xn是相互独立的随机变量，且都服从正态分布N(μ,σ2)(σ>0), 则ξˉ=1n∑i=1nξi服从的分布是ˉ. 解答：

由多维随机变量函数的分布知：

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且

E(Xˉ)=μ,D(Xˉ)=σ2n.

习题4

若Xi～N(μi,σi2)(i=1,2,?,n), 且X1,X2,?,Xn相互独立，则Y=∑i=1n(aiXi+bi)服从的分布是 . 解答：

应填N(∑i=1n(aiμi+bi),∑i=1nai2σi2). 由多维随机变量函数的分布知：

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布，且

E(Y)=∑i=1n(aiμi+bi),D(Y)=∑i=1nai2σi2.

习题5

设随机变量X服从泊松分布，且

3P{X=1}+2P{X=2}=4P{X=0},

求X的期望与方差. 解答：