X的分布律为 P{X=k}=λkk!e-λ, k=0,1,2,?, 于是由已知条件得 3×λ11!e-λ+2×λ22!e-λ=4×λ00!e-λ, 即λ2+3λ-4=0, 解之得λ=-4(舍), λ=1, 故 E(X)=λ=1, D(X)=λ=1. 习题6 设甲，乙两家灯泡厂生产的寿命(单位：小时)X和Y的分布律分别为 X 900 1000 1100 pi 0.1 0.8 0.1 Y 950 1000 1050 pi 0.3 0.4 0.3 试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？ 解答： 哪家工厂的灯泡寿命期望值大，哪家的灯泡质量就好.由期望的定义有 E(X)=900×0.1+1000×0.8+1100×0.1=1000, E(Y)=950×0.3+1000×0.4+1050×0.3=1000. 今两厂灯泡的期望值相等： E(X)=E(Y)=1000, 即甲，乙两厂的生产水平相当. 这就需要进一步考察哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即看哪家工厂的灯泡寿命取值更集中一些，这就需要比较其方差.方差小的，寿命值较稳定，灯泡质量较好，则方差的定义式得 D(X)=(900-1000)2×0.1+(1000-1000)2×0.8+(1100-1000)2×0.1=2200, D(Y)=(950-1000)2×0.3+(1000-1000)2×0.4+(1050-1000)2×0.3=1500. 因D(X)>D(Y), 故乙厂生产的灯泡质量较甲厂稳定. 习题7 已知X～b(n,p), 且E(X)=3,D(X)=2, 试求X的全部可能取值，并计算P{X≤8}. 解答： \\becauseE(X)=np,D(X)=np(1-p), ∴{np=3np(1-p)=2, 即{n=9p=13, ∴X的取值为：0,1,2,?,9, P{X≤8}=1-P{X=9}=1-(13)9. 习题8 设X～N(1,2), Y服从参数为3的(泊松)分布，且X与Y独立，求D(XY). 解答：
\\becauseD(XY)=E(XY)2-E2(XY)=E(X2Y2)-E2(X)2(Y),
又\\becauseE(X2Y2)=∫-∞+∞∫-∞+∞x2y2f(x,y)dxdy=∫-∞+∞x2fX(x)dx∫-∞+∞y2fY(y)dy =E(X2)E(Y2),
∴D(XY)=E(X2)E(Y2)-E2(X)E2(Y)
=[D(X)+E2(X)][D(Y)+E2(Y)]-E2(X)E2(Y) =D(X)D(Y)+D(X)E2(Y)+D(Y)E2(X) =2×3+2×32+3×12=27.
习题9
设随机变量X1,X2,X3,X4相互独立，且有
E(Xi)=i,D(Xi)=5-i,i=1,2,3,4,
又设Y=2X1-X2+3X3-12X4, 求E(Y),D(Y). 解答：
E(Y)=E(2X1-X2+3X3-12X4)=2E(X1)-E(X2)+3E(X3)-12E(X4)
=2×1-2+3×3-12×4=7,
D(Y)=4D(X1)+D(X2)+9D(X3)+14D(X4)=4×4+3+9×2+14×1=37.25.
习题10
5家商店联营，它们每两周售出的某种农产品的数量(以kg计)分别为X1,X2, X3, X4,X5. 已知
X1～N(200,225), X2～N(240,240), X3～N(180,225), X4～N(260,265), X5～N(320,270),
X1,X2,X3,X4,X5相互独立.
(1)求5家商店两周的总销售量的均值和方差；
(2)商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店
的仓库应至少储存该产品多少千克？ 解答：
(1)设总销售量为X,由题设条件知
X=X1+X2+X3+X4+X5,
于是E(X)=∑i=15E(Xi)=200+240+180+260+320=1200, D(X)=∑i=15D(Xi)=225+240+225+265+270=1225.
(2)设商店的仓库应至少储存y千克该产品，为使P{X≤y}>0.99,
求y. 由(1)易知，X～N(1200,1225),
P{X≤y}=P{X-12001225≤y-12001225=Φ(y-12001225)>0.99.
查标准正态分布表得y-12001225=2.33,
y=2.33×1225+1200≈1282(kg).
习题11
设随机变量X1,X2,?,Xn相互独立，且都服从数学期望为1的指数分布，求
Z=min{X1,X2,?,Xn}
的数学期望和方差. 解答：
Xi(i=1,2,?,n)的分布函数为
F(x)={1-e-x,x>00,其它,
Z=min{X1,X2,?,Xn}的分布函数为
FZ(z)=1-[1-F(z)]n={1-e-nz,z>00,其它,
于是E(Z)=∫0∞zne-nzdz=-ze-nz∣0∞+e-nzdz=1n, 而
E(Z2)=∫0∞z2ne-nzdz=2n2,
于是
D(Z)=E(Z2)-(E(Z))2=1n2.
4.3 协方差与相关系数
习题1
设(X,Y)服从二维正态分布，则下列条件中不是X,Y相互独立的充分必要条件是().
(A)X,Y不相关； (B)E(XY)=E(X)E(Y); (C)cov(X,Y)=0; (D)E(X)=E(Y)=0.
解答： 应选（D）。
当(X,Y)服从二维正态分布时，
不相关性?独立性
若(X,Y)服从一般的分布，则
X,Y相互独立?X,Y不相关
反之未必.
习题2
设X服从参数为2的泊松分布，Y=3X-2, 试求E(Y),D(Y),cov(X,Y)及ρXY. 解答：
E(Y)=E(3X-2)=3E(X)-2=3×2-2=4 D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=9×2=18, cov(X,Y)=cov(X,3X-2)=3D(X)=6,
ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=62?18=1.
习题3
设随机变量X的方差D(X)=16, 随机变量Y的方差D(Y)=25, 又X与Y的相关系数ρXY=0.5, 求D(X+Y)与D(X-Y). 解答：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)+2D(X)D(Y)ρXY =16+25+2×4×5×0.5=61,
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2cov(X,Y)=D(X)+D(Y)-2D(X)D(Y)ρXY =16+25-2×4×5×0.5=21.
习题4
设(X,Y)服从单位圆域G:x2+y2≤1上的均匀分布，证明X,Y不相关. 解答：
E(XY)=∫∫x2+y2≤11πxydxdy =1π∫-11dxdy∫-1-x21-x2ydy=0, 又
E(X)=∫∫x2+y2≤11πxdxdy=1π∫-11xdx∫-1-x21-x2dy=1π∫-112x1-x2dx=0,
同理，E(Y)=0, 故
cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0,
即X,Y不相关. 习题5
设100件产品中的一，二，三等品率分别为0.8,0.1和0.1. 现从中随机地取1件，并记
Xi={1,取得i等品0,其它(i=1,2,3),
求ρX1X2. 解答：
首先求(X1,X2)的联合分布
P{X1=0,X2=0}=P{X3=1}=0.1, P{X1=0,X2=1}=P{X2=1}=0.1,
P{X1=1,X2=0}=P{X1=1}=0.8, P{X1=1,X2=1}=P(?)=0.
关于X1和X2的边缘分布律为
P{X1=1}=0.8, P{X1=0}=0.2, P{X2=1}=0.1, P{X2=0}=0.9.
于是E(X1)=0.8, D(X1)=0.16; E(X2)=0.1, D(X2)=0.09. 从而
ρX1X2=cov(X1,X2)D(X1)D(X2)=E(X1X2)-E(X1)E(X2)D(X1)D(X2) =1×0+0×0.8+0×0.1+0×0.1-0.080.4×0.3=-23. 习题6
设X～N(μ,σ2),Y～N(μ,σ2), 且X,Y相互独立，试求Z1=αX+βY和Z2=αX-βY的相关系数(其中α,β是不为零的常数). 解答：
cov(Z1,Z2)=cov(αX+βY,αX-βY)=α2cov(X,X)-β2cov(Y,Y)
=α2D(X)-β2D(Y)=(α2-β2)σ2,
D(Z1)=D(αX+βY)=α2D(X)+β2D(Y)+2αβcov(X,Y), D(Z2)=D(αX-βY)=α2D(X)+β2D(Y)-2αβcov(X,Y).
因为X,Y相互独立，所以cov(X,Y)=0, 故
D(Z1)=(α2+β2)σ2,D(Z2)=(α2+β2)σ2,
相关系数ρ=cov(Z1,Z2)D(Z1)D(Z2)=α2-β2α2+β2. 习题7
设随机变量(X,Y)具有概率密度
f(x,y)={18(x+y),0≤x≤2,0≤y≤20,其它,
求E(X),E(Y),cov(X,Y),ρXY,D(X+Y). 解答：
E(X)=∫-∞+∞∫-∞+∞xf(x,y)dydx=∫02∫02x?18(x+y)dydx=76.
由对称性知，E(Y)=76,
E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫02∫02xy?18(x+y)dxdy
=∫0218(83y+2y2)dy=43,
于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=43-76×76=-136，
E(X2)=∫02∫02x2?18(x+y)dydx=14∫02(x3+x2)dx=53.
由对称性知，E(Y2)=53, 故
D(X)=E(X2)-[E(X)]2=53-(76)2=1136,D(Y)=1136,
ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=-1361136=-111,
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=1136+1136-2×136=59.
习题8
设随机变(X,Y)的分布律为
Y\\X -101
-101 1/81/81/81/801/81/81/81/8 验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立. 解答：
先求X,Y的边缘分布律
X -101 Y -101 pk 3/82/83/8 pk 3/82/83/8 因为p00≠p0?p?0, 所以X与Y不是独立的，又