E(X)=nP=1000×0.5=500,
D(X)=nP(1-P)=1000×0.5×0.5=250,
400 P{400 习题24 设在某种重复试验中，每次试验事件A发生的概率为14, 问能以0.9997的概率保证在1000次试验中A发生的频率与14相差多少？此时A发生的次数在哪个范围之内？ 解答： 已知n=1000,p=14,β=0.9997. 要求的是?, 使 P{∣nAn-p∣≤?=0.9997(=β). 因为P{∣nAn-p∣≤?≈2Φ(?np(1-p))-1=0.9997, 故 Φ(?np(1-p))=0.9997. 查表得?np(1-p)=3.62, 故 ?=3.62×p(1-p)n=3.62×0.25×0.751000≈0.0496, 即在1000次试验中，能以0.9997的概率保证A发生的频率与14相差约为0.0496. 此时 nA满足 ∣nAn-14∣≤0.0496, 故200.4≤nA≤299.6. 习题25 利用仪器测量已知量a时，所发生的随机误差的分布在独立试验的过程中保持不变，设X1,X2,?,Xn,?是各次测量的结果，可否用1n∑i=1n(Xi-a)2作为仪器误差的方差的近似值(设仪器无系统偏差)？ 解答： 题目问的是：当独立重复试验次数n无限增大时，1n∑i=1n(Xi-a)2与仪器误差的方差有一定偏差的可能性是否可以任意小？故考虑用大数定律. 因为X1,X2,?,Xn,?是各次测量的结果，视为独立同分布的随机变量列，有 E(X1)=E(X2)=?=E(Xn)=设为μ, D(X1)=D(X2)=?=D(Xn)=设为σ2, 则仪器误差的期望和方差分别为 E(Xi-a)=E(Xi)-a=μ-a,D(Xi-a)=D(Xi)=σ2(i=1,2,?,n) 现在考虑随机变量Yi=(Xi-a)2(i=1,2,?,n), 显然Y1,Y2,?,Yn,?也是独立的，并且服从同一分布，计算Yi的数学期望： E(Yi)=E(Xi-a)2=E(Xi2)-2aE(Xi)+a2 =D(Xi)+[E(Xi)]2-2aE(Xi)+a2 =σ2+(μ-a)2(i=1,2,?,n,?) 所以，如果仪器没有系统错误，即E(Xi-a)=μ-a=0, 则 E(Yi)=σ2(i=1,2,?) 于是，按切比雪夫定理的推论，得 limn→∞P{∣1n∑i=1nYi-σ2∣ 这就是说，当n→∞时，14∑i=1n(Xi-a)2依概率收敛于σ2. 因此，当n充分大时，14∑i=1n(Xi-a)2可以作为σ2的近似值. 习题26 一保险公司有10000人投保，每人每年付12元保险费，已知一年内投保人死亡率为0.006, 如死亡，公司付给死者家属1000元，求： (1)保险公司年利润为0的概率； (2)保险公司年利润不少于60000元的概率. 解答： 令X=“一年内死亡的人数”，则X～b(10000,0.006), 公司利润为 L=10000×12-1000X. (1)P{L=0}=P{10000×12-1000X=0}=P{X=120}≈0. (2)P{L≥60000}=P{10000×12-1000X≥60000} =P{X≤60}≈Φ(60-10000×0.00610000×0.006×0.994)=0.5. 习题27 设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为0.5kg, 均方差为0.1kg, 问50000只零件的总重量超过2510kg的概率是多少？ 解答： 设各零件的重量为Xi(i=1,2,?,50000),已知 μ=E(Xi)=0.5kg, D(Xi)=σ=0.1kg, 总重量Z=∑i=15000Xi, 故所求概率为 P{Z>2510}=P{Z-5000×0.50.15000>2510-5000×0.50.15000 ≈1-Φ(100.15000) =1-Φ(1.414)=1-0.9214=0.0787. 习题28 一个供电网内共有10000盏功率相同的灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是0.7.假设各盏灯开、关彼此独立，求夜晚同时开着的灯数在6800到7200之间的概率. 解答： 记X表示夜晚同时开着的灯的数目，依题意，X服从n=10000,p=0.7的二项分布，且 E(X)=7000, D(X)=2100. 如果准确计算，应该用伯努利公式 P{6800 这样的计算只能借助计算机才能完成，如果近似计算，则有下面两种方法： 方法一 用切比雪夫不等式估计. P{6800 方法二 用棣莫弗—拉普拉斯中心极限近似计算. 由于二项分布中参数n相当大，根据中心极限定理，X近似服从N(7000,2100). P{6800 注：尽管切比雪夫不等式与中心极限定理都可以对概率P{6800 习题29 假设一条自动生产的产品合格率是0.8. 要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%, 问这批产品至少要生产多少件？ 解答： 假设至少要生产n件产品，记X表示n件产品的合格品数目. 易见X服从参数为n,0.8的二项分布，依题意，应该确定生产产品数n使其满足下面的概率不等式P{0.76 依题意，E(X)=0.8n, D(X)=0.16n. 方法一 应用切比雪夫不等式. P{0.76 如果1-100n≥0.90, 即n≥1000, 则一定可以保证不等式 P{0.76 成立. 方法二 应用棣莫佛—拉普拉斯定理. 当n比较大时，X近似服从正态分布N(0.8n,0.16n). P{0.76 Φ(0.1n)≥0.95. 查表得0.1n≥1.64, 解此不等式可得n≥268.96. 因此n至少为269. 注意：尽管切比雪夫不等式与中心极限定理都可以对概率P{0.76 习题30 用棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理证明，在伯努利试验中，若0 P{∣μn-np∣ 解答： P{∣μn-np∣ =P{-knpq<μn-npnpq 其中Φ(x)=12π∫-∞xe-t2/2dt. \\becauselimn→∞[Φ(knpq)-Φ(-knpq)]=0, 故 P{∣μn-np∣ 习题31 设X1,X2,?,Xn,?为独立同分布的随机变量序列，已知E(Xi)=μ, D(Xi)=σ2(σ≠0), 证明：当n充分大时，算术平均Xˉn=1n∑i=1nXi近似服从正态分布，并指出分布中的参数. 解答： 由独立同分布中心极限定理，得 limn→∞P{∑i=1nXi-nμnσ≤x=∫-∞x12πe-t2/2dt, 即limn→∞P{1n∑i=1nXi-μσ2n≤x=∫-∞x12πe-t2/2dt, 亦即limn→∞P{Xnˉ-μσ2n≤x=∫-∞x12πe-t2/2dt. 于是，当n充分大时，有Xnˉ-μσ2n～?N(0,1), 而 E(Xnˉ)=μ,D(Xnˉ)=μ,D(Xnˉ)=σ2n, 故Xnˉ～?N(μ,σ2n)(n充分大时).