E(X)=-1×38+1×38=0,E(Y)=-1×38+1×38=0, E(XY)=(-1)×(-1)×18+(-1)×1×18+1×(-1)×18+1×1×18=0,
于是cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 即ρXY=0. 因此，X与Y是不相关的. 习题9
设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f(x,y)={1/π,x2+y2≤10,其它,
试验证X和Y是不相关的，且X和Y不相互独立. 解答：
首先求fX(x)和fY(y).
fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy={∫-1-x21-x21πdy=2π1-x2,-1≤x≤10,其它, fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx={∫-1-y21-y21πdx=2π1-y2,-1≤y≤10,其它,
E(X)=∫-∞+∞fX(x)dx=∫-11x?2π1-x2dx=0,
同理可得E(Y)=0,
E(XY)=∫-∞+∞∫-∞+∞xyf(x,y)dxdy=∫∫x2+y2≤11πxydxdy=0.
因此cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0, 即
ρXY=0,
故X与Y是不相互独立的.
又因为f(x,y)≠fX(x)fY(y), 故X与Y不是相互独立的. 习题10
设(X,Y)服从二维正态分布，且X～N(0,3),Y～N(0,4), 相关系数ρXY=-1/4, 试写出X与
Y的联合概率密度.
解答：
依题意知，二维正态分布5个参数分别为
μ1=0,μ2=0,σ12=3,σ22=4,ρXY=-14,
故X,Y的联合概率密度为
f(x,y)=12π?325e-115/8[x23-2(-14)x3?y2+y24]=135πe-815(x23+xy43+y24).
习题11
设(X,Y)服从二维正态分布，且有D(X)=σX2,D(Y)=σY2. 证明：当a2=σX2σY2时随机变量W=X-aY与V=X+aY相互独立. 解答：
根据多维正态分布的性质可知，由于(X,Y)服从二维正态分布，故W与V的联合分布也是二维正态分布. 又知，二维正态分布二分量间相互独立与不相关是等价的，因此，欲证明W与V相互独立，也就是要证cov(W,V)=0, 为此求cov(W,V).
cov(W,V)=cov(X-aY,X+aY)=D(X)-a2D(Y)=σX2-a2σY2.
令cov(W,V)=0, 即σX2-a2σY2=0, 则得a2=σX2σY2, 故证得当a2=σX2σY2时，随机变量W与V相互独立，其中
W=X+aY,V=X+aY.
习题12
设随机变量X的概率密度为
f(x)={0.5x,0 求随机变量X的1至4阶原点矩和中心矩. 解答： 由公式vk=E(Xk)=∫-∞+∞xkf(x)dx=∫02xk(0.5x)dx, 求原点矩v1=∫02x(0.5)dx=12∫02x2dx=12×13x3∣02=43, v2=∫02x2(0.5x)dx=12∫02x3dx=12×14x4∣02=2, v3=∫02x3(0.5x)dx=12×15x5∣02=3.2, v4=∫02x4(0.5x)dx=12×16x6∣02=163; 求中心矩：任何变量的一阶中心距均为0, 即μ1=0, 由中心矩与原矩的关系有 μ2=v2-v12=2-(43)2=29, μ3=v3-3v2v1+2v13=3.2-3×2×43+2×(43)3=-8135, μ4=v4-4v3v1+612v2-3v14=16135. 习题13 设随机变量X服从拉普拉斯分布，其概率密度为 f(x)=12λe-∣x∣λ,-∞ 其中λ>0为常数，求X的k阶中心矩. 解答： 由于E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx=12λ∫-∞+∞xe-∣x∣λdx=0, 所以 μk=E([X-E(X)]k)=E(Xk)=12λ∫-∞+∞xke-∣x∣λdx. 因此，当k为奇数时，可得μk=0. 当k为偶数时，有 μk=12λ∫0+∞xke-xλdx+12λ∫-∞0xkexλdx=1λ∫0+∞xke-xλdx =λk∫0+∞tke-tdt=λkΓ(k+1)=λk?k!, 故 μk={0,k为奇数时λkk!,k为偶数时. 4.4 大数定理与中心极限定理 习题1 一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X, 估计P{10 记Xi(i=1,2,3,4)为第i次掷骰子出现的点数，则Xi的分布为 Xi 1 2 3 4 5 6 pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 E(Xi)=16(1+2+3+4+5+6)=72, E(Xi2)=16(1+4+9+16+25+36)=916, D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=916-494=3512, 一颗骰子连续掷4次，点数总和 X=∑i=14Xi, E(X)=∑i=14E(Xi)=4×72=14, D(X)=∑i=14D(Xi)=4×3512=353, 于是 P{10 习题2 设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4，而相关系数为-0.5, 根据切比雪夫不等式估计P{∣X+Y∣≥6}. 解答： E(X)=-2, E(Y)=2, D(X)=1, D(Y)=4, ρX,Y=-0.5, ∴ E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0, D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2ρX,YD(X)D(Y)=1+4+2×(-0,5)×1×2=3, ∴ P{∣X+Y∣≥6}≤362=112. 习题3 设X1,X2,?,Xn为随机变量序列，a为常数，则{Xn}依概率收敛于a是指 . 解答： 应填：??>0,limn→∞P(∣Xn-a∣≥?)=0. 由依概率收敛定义即可得到结果. 习题4 设总体X服从参数为2的指数分布，X1,X2,?,Xn为来自总体X的一个样本，则当n→∞, Yn=1n∑i=1nXi2依概率收敛于 . 解答： 应填：1/2. 由题设，可知Xi～e(2), 因此 E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi2)=1λ2+1λ2=2λ2=12. 根据切比雪夫大数定律的推广：若X1,X2,?具有相同的数学期望E(Xi)=μ, 则对于任意的正数?, 有 limx→∞P(∣1n∑i=1nXi-μ∣ 因此，本题有limx→∞P(∣1n∑i=1nXi2-12∣ 从某厂产品中任取200件，检查结果发现其中有4件废品，我们能否相信该产品的废品率不超过0.005? 解答： 若该工厂的废品率不大于0.005, 则检查200件产品中发现4件废品的概率应该不大于 p=C2004×0.0054×0.995196, 用泊松定理作近似计算 λ=200×0.005=1, 即p≈14e-14!≈0.0153. 这一概率很小，根据实际推断原理，这一小概率事件实际上不太会发生，故不能相信该工厂的废品率不超过0.005. 习题6 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？ 解答： 把抽一根木柱测其长度是否短于3m看做一次试验. 设事件A为“抽到的木柱长度短于3m”，则由已知条件知 P(A)=20100=0.2=p. 由于木柱数量很大，可把100次抽取看做是100重伯努利试验.记抽出的100根木柱中短于 3m的木柱数为X, 则X～b(100,0.2). 由题意和棣莫佛—拉普拉斯定理，有 P{X≥30}=1-P{X<30} =1-P{X-100×0.2100×0.2×0.98<30-100×0.2100×0.2×0.98 ≈1-Φ(2.5)=0.0062. 习题7 一部件包括10部分，每部分的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，其数学期望为2mm, 均方差为0.05mm, 规定总长度为(20±0.1)mm时产品合格，试求产品合格的概率. 解答： 设各部分长度为Xi(i=1,2,?,10), 总长度 Z=∑i=110Xi. 已知E(Xi)=2,D(Xi)=(0.05)2, 则依题意可知，并用林德伯格—勒维极限定理得产品合格的概率为 P{20-0.1≤Z≤20+0.1} =P{-0.10.0510≤Z-2×100.0510≤0.10.0510≈Φ(0.63)-Φ(-0.63) =2Φ(0.63)-1=2×0.7357-1=0.4714. 习题8 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 解答： 设Xi表示第i只电器元件的寿命，i=1,2,?,16. Xi(i=1,2,?,16)间独立同指数分布，E(Xi)=100小时，D(Xi)=100小时，n=16, 所求概率为 P{∑i=116Xi>1920=P{∑i=116Xi-16×100400>1920-1600400 ≈1-Φ(320400)=1-Φ(0.8)=1-0.7881=0.2119. 习题9 检验员逐个地检查某种产品，每次花10秒钟检查一个，但也可能有的产品需要重复检查一次再用去10秒钟，假定每个产品需要重复检查的概率为12,求在8小时内检验员检查的产品多于1900个的概率是多少？ 分析： 解答： 换言之，即求检查1900个产品所花的时间不超过8小时的概率. 设Xi为检查第i个产品所需的时间，则X1,X2,?,X1900为独立同分布的随机变量，S=∑i=11900Xi为检查1900个产品所需的总时间. 由题设，有 Xi={10,第i个产品没有重复检验20,第i个产品重复检验, 且P{Xi=10}=P{Xi=20}=12,i=1,2,?, 于是 μ=E(Xi)=10×12+20×12=15, E(Xi2)=102×12+202×12=250(i=1,2,?), σ2=D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=25. 由独立同分布中心极限定理，有 S～近似N(1900×15,1900×25)=N(28500,47500), 故所求之概率为 P{S≤8×3600}=近似P{S≤28800}≈Φ(28800-2850047500) =Φ(3005019)=Φ(619)=0.9162. 习题10 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7, 假定各机床开关是独立的，开动时每部要消耗电能15个单位，问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率保证不致于因供电不足而影响生产. 解答： 记200部机床中开动的机床部数为X, 则 X～b(200,0.7), 由中心极限定理， P{X≤k}≈Φ(k-200×0.7200×0.7×0.3)≥0.95, 查表得k-14042=1.65, 解得k≈151, 所需电量151×15=2265个单位. 习题11 某电视机厂每月生产一万台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8,为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月生产多少只显像管？