设随机变量X的概率密度为
f(x)={ax2+bx+c,0 并已知E(X)=0.5,D(X)=0.15, 求系数a,b,c. 解答： 由概率密度性质有 1=∫-∞+∞f(x)dx=∫01(ax2+bx+c)dx=a3+b2+c, 即13a+b2+c=1. ① 又E(X)=∫-∞+∞xf(x)dx=∫01x(ax2+bx+c)dx=a4+b3+c2, 所以14a+13b+12c=0.5. ② 又E(X2)=D(x)+E2(x)=0.15+0.25=0.4, E(X2)=∫-∞+∞x2f(x)dx==∫01x2(ax2+bx+c)dx=15a+14b+13c, 所以15a+14b+13c=0.4. ③ 解由式①，②，③联立而成的方程组得 a=12,b=-12,c=3 习题12 卡车装运水泥，设每袋水泥重量X(以kg计)服从N(50,2.52),问最多装多少水泥使总重量超过2000kg的概率不大于0.05？ 解答： 设最多装n袋水泥.由题设，每袋水泥重量 Xi～N(50,2.52),i=1,2,?,n, 且X1,X2,?,Xn相互独立. 总重量∑i=1nXi, 要求P{∑i=1nXi>2000≤0.05, 求n？ ∑i=1nXi～N(50n,n?2.52), 所以 P{∑i=1nXi>2000=P{∑i=1nXi-50n2.5n>2000-50n2.5n =1-Φ(2000-50n2.5n)≤0.05, 即Φ(4000-100n5n)≥0.95, 查标准正态分布表得4000-100n5n=1.645. 由方程400n2-32002.706n+800=0解得n≈39.483(袋), 故最多装n=39袋才能使总重量超过2000kg的概率不大于0.05. 习题13 设随机变量X1,X2,X3相互独立，其中X1在[0,6]上服从均匀分布，X2服从参数λ=1/2的指数分布，X3服从参数λ=3的泊松分布，记Y=X1-2X2+3X3, 求D(Y). 解答： 因X1在[0,6]上服从均匀分布，故D(X1)=(6-0)212=3; 又因X2～e(1/2),X3～P(3), 故 D(X2)=1/(1/2)2=4,D(X3)=3. 因X1、X2、X3相互独立，根据方差的性质得 D(Y)=D(X1-2X2+3X3)=D(X1)+4D(X2)+9D(X3) =3+4×4+9×3=46. 习题14 设X服从参数为1的指数分布，且Y=X+e-2X, 求E(Y)与D(Y). 解答： 由于X服从λ=1的指数分布，因此E(X)=1,D(X)=1, E(X2)=D(X)+(E(X))2=2, E(Y)=E(X+e-2X)=E(X)+E(e-2X)=1+∫0+∞e-2xe-xdx =1+1/3=4/3, E(Y2)=E((X)+e-2X)2)=E(X2+2Xe-2X+e-4X), E(Xe-2X)=∫0+∞xe-2xe-xdx=∫0+∞xe-3xdx=19, E(e-4X)=∫0+∞e-4xe-xdx=∫0+∞e-5xdx=15, E(X2)+2E(Xe-2X)+E(e-4X)=2+2/9+1/5=109/45, D(Y)=E(Y2)-(E(Y))2=109/45-16/9=29/45. 习题15 已知X～N(1,32),Y～N(0,42),ρXY=-12, 设Z=X3+Y2, 求Z的期望与方差及X与Z的相关系数. 解答： 由已知，E(X)=1,D(X)=32,E(Y)=0,D(Y)=42, 所以 E(Z)=E(X3+Y2)=13E(X)+12E(Y)=13, D(Z)=D(X3+Y2)=132D(X)+14D(Y)+2×13×12Cov(X,Y) =1+4+13×ρXY×D(X)D(Y)=5+13×(-12)×3×4=3, ρXZ=cov(X,Z)D(X)D(Z)=cov(X,13X+12Y)D(X)D(Y)=13D(X)+12cov(X,Y)D(X)D(Z) =D(X)3D(Z)+ρXY?D(Y)2D(Z)=333-443=0. 习题16 设X,Y的概率密度为 f(x,y)={1,∣y∣≤x,0≤x≤10,其它, (1)求关于X,Y的边缘概率密度； (2)求E(X),E(Y)及D(X),D(Y); (3)求cov(X,Y). 解答： (1)当0≤x≤1时，fX(x)=∫-xx1dy=2x, 故fX(x)={2x,0≤x≤10,其它； 当0≤y≤1时，fY(y)=∫y11dx=1-y； 当-1≤y≤0时，fY(y)=∫-y11dx=1+y，故 fY(y)={1+y,-1≤y≤01-y,0≤y≥10,其它={1-∣y∣,当-1≤y≤10,其它. (2)先画出f(x,y)不为0的区域G E(X)=∫01x?2xdx=23,E(X2)=∫01x2?2xdx=12, 故 D(X)=12-(23)2=118, E(Y)=∫-11y(1-∣y∣)dy=0, E(Y2)=∫-11y2(1-∣y∣)dy=2∫01y2(1-y)dy=16, 故D(Y)=16. (3)E(XY)=∫∫Gxydy=∫01dx∫-xxxydy=0, 故 cov(X,Y)=0. 习题17 设随机变量X～U(0,1),Y～U(1,3), X与Y相互独立，求E(XY)与D(XY). 解答： 因为fX(x)={1,0 f(x,y)={1/2,0 则 E(XY)=∫01xdx∫1312ydy=12×2=1, E(X2Y2)=∫01x2dx∫1312y2dy=13×133=139, 故D(XY)=E(X2Y2)-[E(XY)]2=139-1=49. 习题18 设E(X)=2,E(Y)=4,D(X)=4,D(Y)=9,ρXY=0.5, 求： (1)U=3X2-2XY+Y2-3 的数学期望； (2)V=3X-Y+5的方差. 解答： (1)E(U) =E(3X2-2XY+Y2-3)=3E(X2)-2E(XY)+E(Y2)-3 =3[D(X)+(E(X))2]-2[E(X)E(Y)+ρXYD(X)?D(Y)]+[D(Y)+(E(Y))2]-3 =24; (2) D(V)=D(3X-Y+5)=9D(X)+D(Y)-6cov(X,Y) =45-6ρXYD(X)?D(Y)=27. 习题19 设W=(aX+3Y)2,E(X)=E(Y)=0, D(X)=4,D(Y)=16,ρXY=-0.5. 求常数a, 使E(W)为最小，并求E(W)的最小值. 解答： E(W)=E(aX+3Y)2=E(a2X2+9Y2+6aXY)=a2E(X2)+9E(Y2)+6aE(XY) =a2{D(X)+[E(X)]2}+9{D(Y)+[E(Y)]2+6a[ρD(X)D(Y)+E(X)E(Y)] =4a2+144-24a=4[(a-3)2+27], 易见，当a=3时，E(W)达到最小，且E(W)min=4×27=108. 注：求E(W)最小时的a, 也可利用求导法. dEda=8(a-3), 令dEda=0, 得a=3是唯一驻点. 又因d2Eda2=8>0, 故a=3为极小点，也是最小点，所以，当a=3时E(W)最小，且最小E(W)值为108. 习题20 某班有学生n名，开新年联欢会，每人带一份礼物互赠，礼物集中放在一起，并将礼物编了号，当交换礼物时，每人随机地拿到一个号码，并以此去领取礼物，试求恰好拿到自己准备的礼物的人数X的期望和方差. 解答： 设随机变量 Xi={1,若第i人拿到自己准备的礼物0,若第i个人未拿到自己准备的礼物 (i=1,2,?,n), 显然有X=∑i=1nXi, 易知 P{Xi=1}=1n,P{Xi=0}=1-1n,i=1,2,?,n,E(X)=1, 由于X1,X2,?,Xn不相互独立，因此 D(X)=∑i=1nD(Xi)+2∑1≤i≤j≤n∑cov(Xi,Xj), 而 D(Xi)=E(Xi2)-[E(Xi)]2=P{Xi2=1}-(1n)2=1n-1n2=1n(1-1n), cov(Xi,Xj)=E(XiXj)-E(Xi)E(Xj), XiXj取值为0,1, 定义： P{XiXj=1}=P{Xi=1,Xj=1}=P{Xi=1}P{Xj=1∣Xi=1} =1n?1n-1, 于是E(XiXj)=1?P{XiXj=1}=1n(n-1), 因而 cov(Xi,Xj)=1n(n-1)-1n2=1n2(n-1), 所以D(X)=n?1n(1-1n)+2Cn2?1n2(n-1)=n-1n+1n=1. 习题21 设A和B是随机试验E上的两事件，且P(A)>0,P(B)>0, 定义随机变量X,Y为 X={1,若A发生0,若A不发生, Y={1,若B发生0,若B不发生, 证明：若ρXY=0, 则X和Y必定相互独立. 分析： 解答： X,Y的分布律分别为 X 1 0 pi P(A) P(Aˉ) Y 1 0 pi P(B) P(Bˉ) XY 1 0 pi P(AB) 1-P(AB) 于是E(X)=P(A),E(Y)=P(B),E(XY)=P(AB), 0=ρXY=cov(X,Y)D(X)D(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X)D(Y)?E(XY)=E(X)E(Y), 即P(AB)=P(A)P(B),故A与B相互独立，由事件独立的性质可知A与Bˉ, Aˉ与B, Aˉ与Bˉ也相互独立，于是 P{X=1,Y=1}=P(AB)=P(A)P(B)=P{X=1}P{Y=1}, P{X=0,Y=0}=P(ABˉ)=P(A)P(Bˉ)=P{X=1}P{Y=0}, P{X=0,Y=1}=P(AˉB)=P(Aˉ)P(B)=P{X=0}P{Y=1}, P{X=0,Y=0}=P(AˉBˉ)=P(Aˉ)P(Bˉ)=P{X=0}P{Y=0}, 故X与Y相互独立. 习题22 设二维随机变量(X,Y)～N(0,0,σ12,σ22,ρ), 其中σ12≠σ22. 又设 X1=Xcosa+Ysina,X2=-Xsina+Ycosa, 问何时X1与X2不相关，X1与X2独立？ 解答： 因为(X1,X2)是(X,Y)的线性变换，所以(X1,X2)仍然是二维正态随机变量，若X1与X2不相关，X1与X2必然独立. E(X1)=E(X2)=0, cov(X1,X2)=E[(Xcosa+Ysina)(-Xsina+Ycosa)]-0 =E[-X2sinacosa+Y2sinacosa+XY(cos2a-sin2a)] =(σ22-σ12)sinacosa+ρσ1σ2(cos2a-sin2a). 若X1与X2不相关，则cov(X1,X2)=0, 从而有 tan2a=2sinacosacos2a-sin2a=2ρσ1σ2σ12-σ22, 此时，X1与X2不相关，且X1与X2独立. 习题23 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5, 利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立重复试验中，事件A发生的次数在400～600之间的概率. 解答： 设X表示在1000次独立事件重复试验中，事件A发生的次数，则X～b(1000,0.5),