第1章 差分方程和滞后算子
第一节 差分方程
一．一阶差分方程
假定t期的y（输出变量）和另一个变量w（输入变量）和前一期的y之间存在如下动态方程：
yt??yt?1?w （1）
则此方程为一阶线性差分方程，这里假定w为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。一阶差分方程的典型应用为美国货币需求函数：
mt?0.27?0.72mt?1?0.19It?0.045rbt?0.019rct
wt?0.27?0.19It?0.045rbt?0.019rct
其中mt为货币量，It为真实收入，rbt为银行账户利率，rct为商业票据利率。 1）用递归替代法解差分方程 根据方程（1），可以得到
012?ty0??y?1?w0y1??y0?w1y2??y1?w2 （2） ?yt??yt?1?wt如果我们知道t??1期的初始值y?1和w的各期值，则可以通过动态系统得到任何一个时期的值。即
yt??t?1y?1??tw0??t?1w1?....?wt （3）
这个过程称为差分方程的递归解法。 2）动态乘子：
对于方程（3），如果w0随y?1变动，而w1,...,wt都与y?1无关，则w0对yt得影响为：
?yt?j?ytt??或??j （4） ?w0?wt方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响）。动态乘子依赖于j，即输入wt的扰动和输出yt?j的观察值之间的时间间隔。
对于方程（1），当0???1时，动态乘子按几何方式衰减到零；当?1???0，动态乘子振荡衰减到零；??1，动态乘子指数增加；???1，动态乘子发散性振荡。因此，??1，动态系统稳定，即给定wt的变化的后果将逐渐消失。??1，系统发散。
1
当??1时，此时yt?y?1?w0?w1?....?wt，即输出变量的增量是所有输入w的历史值之和。
如果w产生持久性变化，即wt,wt?1,...,wt?j都增加一个单位，此时持久性影响为：
?yt?j?wt??yt?j?wt?1??yt?j?wt?2?....??yt?j?wt?j??j??j?1?.....???1 （5）
当??1时，且j??是，持久性影响为
??yt?j?yt?j?yt?j?yt?j?1j?1jlim????....??1???....?????...? （6） ?j???w?w?w?w1???t?1t?2t?j??t?如果考察wt的一个暂时性变化对输出y的累积性影响，则和长期影响一致。
二．p阶差分方程
如果动态系统中的输出yt依赖于它的p期滞后值以及输入变量wt：
yt??1yt?1??2yt?2?.....??pyt?p?wt （7）
此时可以写成向量的形式，定义
?yt???1?2?3?y??100t?1????t??yt?2?， F??010???????????yt?p???000??从而（7）写成向量形式：
??p?1?p??wt??0??00?????00?， vt??0?
????????????10???0???t?F?t?1?vt （8）
这个系统由p个方程组成。为了便于处理，将p阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采用滞后算子的办法来处理这个系统。
0期的?值为： 1期的?值为：
?0?F??1?v0
?1?F?0?v1?F??0?F??1?v0??v1?F2??1?Fv0?v1
2v1?Ft?v?t期的?值为： ?t?Ft?1??1?Ftv0?Ft?12....?Fvt??1vt
写成?和v的形式为：
?yt??y?1??w0??w1??wt?1??wt??y??y??0??0??0??0?t?1????2?????????t?1tt?11?yt?2??F?y?3??F?0??F?0??....?F?0???0? （9） ???????????????????????????????yt?p?1??y?p?????0???0???0????0?????? 2
该系统中的第一个方程代表了yt的值。令f11表示F中第?1,1?个元素，f12表示F中第
t
t
?t??t??1,2?个元素等等。于是yt的值为：
?t?1??t?1??t?1?yt?f11y?1?f12y?2?f13y?3?...?f1?pt?1?y?p ?f11w0?f11w1?...?f11wt?1?wt或
?yt?j?f11j?1??t??t?1??1? （10）
?yt?1?f12j?1??yt?2?f13j?1?yt?3?...?f1?pj?1?yt?p ?f11wt?f11?j??j?1?wt?1?...?f11wt?j?1?wt?j?1? （11）
表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时p阶差分方程的动态乘子：
?yt?j?wt?? （12） ?f11jj是F的?1,1?元素。因此对于任何一个p阶差分方程，
?yt?1?y??1，t?2??12??2 （13） ?wt?wt对于更大j值，通过分析表达式（12）就非常有用。通过矩阵F的特征根地进行求解。矩阵F的特征根为满足下式的?值：
F??Ip?0 （14）
对于一个p阶系统，行列式（14）为特征根?的p阶多项式，多项式的p个解是F的P个特征根。 定理1：
??1?2?3?100?矩阵F??010???????000??p?1?p??00???00?的特征根由满足下式的?值组成：
??????10???p??1?p?1??2?p?2?...??p?1???p?0 （15）
1．具有相异特征根的p阶差分方程的通解
此时存在一个?p?p?阶非奇异矩阵T，满足
F?T?T?1F2?T?T?1T?T?1?T?2T?1 （16）
?Fj?T?jT?1
3
其中?是一个?p?p?矩阵，主对角线由F得特征根组成，其它元素为零，即
??10?0?2????????00?00?0?0???12??0??,?2??0?????????p????0ij0?22?000?0?1??1j?0????0?0,?,?j????????2???p????00?2j?000?0?0???0???????pj?? （17）
令tij表示T的第i行、第j列的元素，t表示T的第i行、第j列的元素。因此方程为：
?t11t12?tt2221jF????????tp1tp2?t??t? ?????jt???p11j?t1p???1j??t2p???0????????tpp????0j122j222jpjp0?2j?0110?0??t11t12??0?0??t21t22?????????p1p20??pj?t?t??12?t1p???t2p??????tpp??j111j211t?t??tp2?2j?t1p???tt??2122?t2p???tt????????p1p2?tpp?pj?t?t???t???t2p??????tpp??1p （18）
因此F的第?1,1?个元素为：
?j?11j21jp1j?????f11??tt??tt??....?tt?1111221pp?????? （19）
或者
j f11?c??c11i1?j??2j?2....?cp?pj （20）
其中ci???t1it??。因为程的动态乘子：
?c??tti1ii?1i?1ppi1，得到p阶差分方?TT?1?1。将（20）代入（12）
?yt?j?wt定理2：
???f11?c1?1j?c2?2j?....?cp?pj （21）
j??1?2?3?100?如果矩阵F??010???????000??p?1?p??00???00?的特征值??1,?2,....,?p?是相异的，则
??????10??ci??ip?1??????ikk?1k?ip （22）
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因此求出F的特征值?，就可以求出相应的ci，由此就可以根据（21）计算得到动态乘子。
如果所有的特征值都是实根。如果存在一个特征根的绝对值大于1，则系统是发散的。根据（21），我们发现动态乘子最终由绝对值最大的特征根的指数函数决定。
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