表达式为：
Yt????t??1?t?1??2?t?2?...??q?t?q （12）
其中??t?为白噪声过程，?1,?2,...,?q为任何实数。其均值、方差和自协方差分别为：
??E?Yt????0?E?Yt???22 ?E??t??1?t?1??2?t?2?...??q?t?q? ??1??12??22?...??q2??2 （13）
?j?E?Yt????Yt?j??? ?E??t??1?t?1??2?t?2?...??q?t?q???t?j??1?t?j?1??2?t?j?2?...??q?t?j?q? （14）
2????j??j?1?1??j?2?2?...??q?q?j?? ??0?? j?1,2,...,q j?q即自相关函数在q阶处截尾。
例如：MA?2?过程Yt??t??1?t?1??2?t?2：
?0??1??12??22??2?1???1??1?2??2?2??2??j?0 j?2三．无限阶移动平均过程MA???：
表达式为：
2 （15）
Yt????t??1?t?1??2?t?2?...... （16）
此时其平稳性要求绝对可加??j??或平方可MA???过程应注意其自协方差总是存在，
j?0?加
2??j??。此时自相关函数不具有截尾特征。 j?0? 16
第四节 自回归过程
一．一阶自回归过程AR?1?
表达式为差分方程：
Yt?c??Yt?1??t （17）
?t为白噪声序列。其中输入变量wt?c??t。
1．如果??1，系统（17）中?对Y的影响随着时间累增而不是消失，系统不是有限方差的协方差平稳过程。这个过程一般称为爆炸性过程。
2．??1时，系统为协方差平稳过程，此时利用滞后算子系统变为：
?1??L?Yt?c??t 利用求逆，从而得到此过程的解为MA???过程：
Yctt?1??L??1??L ?c1????1??L??2L2?......??t ?c1????t???t?1??2?t?2?.....明显，当??1时，满足绝对可加性：
????j???j?11???? j?0j?0此时系统的均值、方差、自协方差函数和自相关函数分别为：
E?Yt????c1????E?Y20t??? ?E??232t???t?1???t?2???t?3?.....? ??1??2??4??6?.....??2 ??21??2 ?j?E?Yt????Yt?j??? ?E??t???t?1??2?t?2?....???t?j???t?j?1??2?t?j?2?....? ???j??j?2??j?4?...??2 ??j21??2?
18）
19）
20） 21）
17
（ （ （ （?j??j??j ?0从函数可以发现，自相关系数函数按几何方式衰减。自相关系数函数与脉冲响应函数或动态乘子相同。?t增加一个单位对于Yt?j的影响等于Yt和Yt?j之间的相关系数。正的?值意味着
Yt和Yt?j之间正相关。负的?值意味着Yt和Yt?j之间负相关。此时自相关函数拖尾。
如果假定过程是协方差平稳的（??1），可直接利用差分方程Yt?c??Yt?1??t计算各阶矩。对（17）两边取期望：
E?Yt??c??E?Yt?1? 从而，
E?Yct????1?? 系统（17）变形，得到：
Yt???1?????Yt?1??t 或?Yt??????Yt?1?????t 两边平方求期望：
E?Y??2??2E?Y2??2t?t?1????2?E???Yt?1????t???Et? 将?Y2t?1?????t?1???t?2???t?3?....代入（25）
，可得 ?0??2?20?? 从而得到协方差平稳AR?1?过程的方差：
??20?1??2 根据同样的道理，（17）两侧同时乘以?Yt?j???，再求期望，可得自协方差函数：E???Yt????Yt?j???????E???Yt?1????Yt?j??????E???t?Yt?j????? 即
?j???j?1 解自协方差函数的差分方程，得到
?j??j?0 自相关函数为：
??jj????j 0 （22）
（23） （24）
（25）
（26）
（27） （28）
（29）
（30）
（31）
18
结论相同。并且得到脉冲响应函数和AR?1?过程的自相关函数相同的原因。 二．二阶自回归过程AR?2?：
表达式为
Yt?c??1Yt?1??2Yt?2??t （32）
或者写成滞后算子形式：
?1??L??L?Y?c?? （33）
212tt22差分方程（33）的平稳条件是特征方程1??1z??z?0的根都落在单位圆外。此时自回
??归算子的逆为：
??L???1??1L??2L2???0??1L??2L2?.... （34）
?1这里的?j由矩阵F的第?1,1?个元素给出。
j将（33）两边同时乘以??L?得到：
Yt???L?c???L??t （35）
显然
E?Yt??????L?c?也可直接对（32）两边取期望，从而有
c1??1??2 （36）
E?Yt????c??1E?Yt?1???2E?Yt?2??c??1???2? （37）
再次得到
E?Yt????系统（32）变形为
c1??1??2 （38）
Yt???1??1??2???1Yt?1??2Yt?2??t （39）
进一步变形
Yt????1?Yt?1?????2?Yt?2?????t （40）
两边同时乘以Yt?j??，求期望，得到
???j??1?j?1??2?j?2 j?1,2,.... （41）
两边同时除以?0，得到
?j??1?j?1??2?j?2 j?1,2,.... （42）
可见，对于AR?2?过程，其自协方差和自相关函数仍然是差分方程。当j?1时，
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?1??1/?1??2?；当j?2时，?2??1?1??2；由此通过逐次求解迭代就可以求得自相关
函数。自相关函数仍然具有拖尾特征。
下面我们求二阶自回归过程的方差。（40）两侧同时乘以?Yt???，再求期望得到：
E?Yt?????1E?Yt?1????Yt?????2E?Yt?2????Yt????E???t?Yt????? （43）
即
2?0??1?1??2?2??2??0??1?1?0??2?2?0??2 （44）
整理一下，得到
1??2??2? （45） ?0?22???1??2???1??2???1?三．p阶自回归过程AR?p?
表达式为：
Yt?c??1Yt?1??2Yt?2?....??pYt?p??t （46）
其平稳性条件为特征方程1??1z??2z2?...??pzp?0的根都在单位圆外。假设过程协方差平稳，则对（46）两边求期望，得到：
??c??1???2??...??p? （47）
从而可以得到均值：
??c/?1??1??2?...??p? （48）
表达式（46）可以写成：
Yt????1?Yt?1?????2?Yt?2????....??p?Yt?p?????t （49）
表达式两侧同时乘以Yt?j??，再取期望可得自协方差：
????1?j?1??2?j?2?...??p?j?p j?1,2,... （50） ?j??2??1?1??2?2?...??p?p+? j?02已知??j??j，因此得到结论：当j?0,1,2,...,p时，?0,?1,...,?p是?,?1,?2,...,?p的函数。
（50）两侧同时除以?0，得到由拉沃克（Yule-Walker）方程：
（51） ?j??1?j?1??2?j?2?...??p?j?p j?1,2,...因此表达式（50）和（51）表明，p阶自回归过程的自协方差函数和自相关函数具有相同形式的p阶差分方程，其自相关函数的具有拖尾特征。在相异根的条件下，自协方差解：
?j?g1?1j?g2?2j?...?gp?pj （52）
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