其中?t??Yt?????1?t?1?...??q?t?q。s?q期的预测为无条件均值?。
例5．ARMA?1,1?过程预测
解：ARMA?1,1?过程?1??L??Yt?????1??L??t，当??1,??1时，满足平稳性???和可逆性。因此预测为：
Y??1??L?1??Lt?st??????1??L?Ls??Yt??? ??1??L其中
??1??L???1??L?Ls??????1??L??2L2?...??L?1??L??2L2??...?????Ls?Ls??? ???s???s?1??1??L??2L2?...???s?1????s?1??L从而预测为
ss?1Y??????????1??Lst?st1??L1??L?Yt???????????s?1?1??L?Yt???
对于s?2,3,...，预测服从递归算法：
Y???t?st????Yt?s?1t???
即在一期以后，预测按几何方式以速度?收敛于无条件均值?。前一期的预测为：Y?????t?1t???1??L?Yt??????Yt??????t
其中
???Y??t?t??????Yt?1??????t?1?Yt?Ytt?1 例6：ARMA?p,q?过程预测 解：对于ARMA?p,q?过程
?1??L??212L?...??pLp??Yt?????1??1L??2L2?...??qLq?
1期预测为
Y?t?1t????1?Yt?????2?Yt?1????...??p?Yt?p??? ????? 1?t??2?t?1?...??q?t?q
31
其中?t?Yt?Ytt?1。前s期预测为：
???Yt?st????1Y????2Yt?s?2t???...??pt?s?1t????????? ??s?t??s?1?t?1?...??q?t?q????Y????Y???...??p?2t?s?2t?1t?s?1t???????????Yt?s?pt???Yt?s?pt????s?1,2,...,q
s?q?1,q?2,...当s?q时，预测为由自回归系数决定的p阶差分方程。
32
A程之和 第八节 ARM过
一．MA?1?过程加白噪声过程 假定Xt?MA?1?过程：
Xt?ut??ut?1 （87）
2其中ut为均值为零、方差为?u的白噪声。Xt的自协方差为：
??1??2??u2??E?XtXt?j?????u2?0??j?0j??1 （88） other2令vt表示均值为零、方差为?v白噪声，且与u线性无关。因此
E?Xtvt?j??0 对所有的j （89）
令Yt表示Xt和vt的和，则
Yt?ut?vt??ut?1 （90）
其均值为0，自协方差为：
??1??2??u2??v2??E?YY???u2??tt?j?0??此时Yt是协方差平稳的。并且Yt可以表示为：
j?0j??1 （91） otherYt??t???t?1 （92）
2其中?t?WN0,?。即MA?1?过程加白噪声过程产生一个新的移动平均过程。
??二．两个移动平均过程相加
令Xt和Wt表示零均值的移动平均过程：
Xt??1??1L??2L2?...??q1Lq1?ut???L?utWt??1?k1L?k2L?...?kq2L2q2?vt?k?L?vt （93）
22其中ut?WN0,?u,vt?WN0,?v。假定对所有的j，EXtWt?j?0。设
??????Yt?Xt?Wt （94）
定义q?max?q1,q2?。则
??jX??WjE?YY?EXX?EWW???????tt?jtt?jtj?0
j?0,?1,?2,...,?qother （95）
33
因此超过q阶滞后的自协方差为零，即Yt可以用MA?q?表示。 三．两个自回归过程相加
假设Xt和Wt表示两个AR?1?过程，
?1??L?Xt?ut （96）
?1?pL?Wt?vt其中ut和vt都是白噪声且对于所有的t和?，ut和vt无关。假设
Yt?Xt?Wt 则（96）变形得到
?1?pL??1??L?Xt??1?pL?ut?1??L??1?pL?W t??1??L?vt相加得到：
?1?pL??1??L??Wt?Xt???1?pL?ut??1??L?vt 即可用一个ARMA?2,1?来表示：
?1??L??L212?Yt??1??L??t 其中
?1??L??L212?t??1?pL??1??L??1??L?? t??1?pL?ut??1??L?vt当??p时，
?1??L?Yt??1??L??Xt?Wt??ut?vt 此时为AR?1?过程。
如果是AR?p1?和AR?p2?相加，即
??L?Xt?utp?L?W t?vt则得到一个ARMA?p1?p2,max?p1,p2??过程
??L?Yt???L??t 其中??L????L?p?L?。
（97）
（98）
（99）
100）
101）
102）
103）
104）
34
（ （ （ （ （第九节 沃尔德分解和ARMA建模
一．沃尔德分解
定理4 Wold分解定理：
任何零均值协方差平稳过程Yt可表示成如下形式
Yt?其中?0?1，且差：
???j?0?j?t?jk t （105）
??2?，表示以Y的滞后项预测Yt产生的误j??。?t是白噪声（新生量）j?0??YY,Y,...? （106） ?t?Yt?Ett?1t?2??kY,Y,...? （107） kt?Ett?1t?2对于任意的j，kt的值与?t?j无关。kt由Y的过去值确定，称为Yt的线性确定性分量。
??j?0?j?t?j称为线性非确定性分量，若kt?0，该过程为纯线性不确定的。
Wold分解定理仅依赖于Y的稳定的二阶矩。因此描述了Y的最优线性预测。 二．Box-Jenkins建模 1．建模基本思想
将某个时间序列的SACF和SPACF的行为与各种理论ACF和PACF的行为匹配起来，
2挑选最佳匹配（或一组匹配的集合），估计模型的未知参数?i,?i,?，并检查从模型拟和
??得到的残差，已发现可能的模型错误。
步骤：
1） 变换数据，是数据满足协方差平稳性假设（单位根检验和季节调整）。 2） 对序列的ARMA?p,q?过程的参数p,q做一个初始的较小值猜测。 3） 估计??L?和??L?的系数。
4） 初步诊断分析。保证所得模型和数据特征相符。 2．样本自相关SACF
?j??j/?0 （108）
其中
???1T?j???yt?y??yt?j?y? j?0,1,2,...,T?1 （109）
Tt?j?1?1Ty??yt （110）
Tt?1
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