由于实际上假定了协方差平稳性，因此当j??，总体自协方差趋向于零。
SACF的检验统计量为：
Q?k??T?ri2 （111）
*i?1k其渐进分布服从自由度为k的卡方X分布，即Q?k?~Xk。
*2a3．偏自相关函数SPACF
m阶偏自相关系数的估计是y关于常数项和最近m个值的OLS回归的最末一个系数：
???m???m?????1?m?yt??2yt?1?cyt?1?...??myt?m?1?et （112）
?其中et代表OLS回归的残差。
4．选择模型的标准：（存在多个行为匹配的模型） 1） AIC标准：（Akaike信息标准）
?2?2?p?q?T?1 （113） AIC?p,q??log?2） BIC标准
???p?q?T BIC?p,q??log?2?1logT （114）
3）首先设定??B?和??B?的阶数上限，pmax和qmax，并规定p??0,1,....,pmax?和
q??0,1,...,qmax?，则选择的阶数p1和q1由法则确定：
AIC?p1,q1??minAIC?p,q?或 BIC?p1,q1??minBIC?p,q? （115）
三、ARMA?p,q?在Eviews中的实现
1
通过自相关分析图判断平稳性：如果序列的自相关系数很快地趋于零，即落入随机区间，则时序是平稳的，否则是非平稳的。 2
自相关图的实现：主菜单中选择quick/series Statisttics/correlogram，在对话框中输入分析的序列名称。如index，点击OK弹出相关图定义。选择之后，点击OK，从而得到时间序列的自相关和偏自相关分析图。 3 4
根据相关图和偏自相关图判断自回归和移动平均的阶数。
模型参数的估计方法： 在主窗口选择Quick/Estimate/Equation，输入index ar(1) ar(2) …ar(p) ma(1) ma(2)…ma(q) 点击OK进入。 5
结果中要求AIC和BIC越小越好。而且最后两行的数值落在单位圆内。
6 模型的检验：
1）对模型的残差序列进行白噪声检验。检验残差序列的样本自相关系数是否为零。
检验统计量为卡方检验。残差序列的自相关函数为
36
?r?e???knt?k?1tt?kn2tt?1eee k?1,2,.... （116） m ,m为最大滞后期。一般取n/4。检验统计量为
rk2?e? （117） Q?n?n?2??k?1n?km2在零假设下，Q服从卡方分布。给定置信度，如果Q?X??m?p?q?，则不能拒绝残差
序列相互独立的原假设，通过检验。否则拒绝原假设。直接对残差序列的检验，分析残差序列的自相关图。
（2） 检查是否过度拟合。用高阶的模型进行拟合，并与原模型比较。
[注释]：
1）见《数据分析与Eviews应用》第五章。 2）阶数一般选择不要超过2。
3）建立模型前，一般要进行单位根检验，从而采取方法消除季节性和趋势性对模型的影响。
参考文献：
1．《金融时间序列的经济计量学模型》 经济科学出版社 米尔斯著 2．《Introductory Econometrics for Finance》 Chris Brooks 剑桥大学出版社 3．《时间序列分析》 汉密尔顿 中国社会科学出版社
4．《经济周期的波动与预测方法》 董文泉 高铁梅著 吉林大学出版社
5．《协整理论与波动模型——金融时间序列分析与应用》张世英、樊智著 清华大学出版社 6．《数据分析与Eviews应用》 易丹辉主编 中国统计出版社
37
第四章 极大似然估计
第一节 引言
考虑ARMA模型：
Yt?c??1Yt?1??2Yt?2?....??pYt?p??t??1?t?1?...??q?t?q （1）
22其中?t?WN0,?。前面我们假定知道总体参数c,?1,...,?p,?1,...,?q,?，此时利用过
????程（1）进行预测。
2本章我们要研究在仅能观测到Y的情况下，如何估计c,?1,...,?p,?1,...,?q,?。估计2方法为极大似然估计。令θ?c,?1,...,?p,?1,...,?q,?表示总体参数向量。假定我们观察到
????一个样本量为T的样本?y1,y2,...,yT?。计算所实现样本的联合概率密度函数：
fYT,YT?1,...,Y1?yT,yT?1,...,y1?? （2）
这可以看作是观察到样本发生的概率。使得“概率”最大的?值就是最优估计。这种思想就是极大似然估计的思想。极大似然估计需要设定白噪声的分布。如果?t是高斯白噪声，则得到的函数为高斯似然函数。
极大似然估计的步骤： 1） 计算似然函数（2）。
2） 利用求极大值方法求使得函数值最大的?值。
第2节 高斯AR?1?过程的似然函数
一．计算高斯AR?1?过程似然函数
高斯AR?1?过程的表达式为
Yt?c??Yt?1??t （3）
22其中?t?iidN0,?。总体参数向量为??c,?,?。
2观察值Y1的均值和方差分别为E?Y1????c/?1???和E?Y1?????/?1???。因2为?t?iidN0,?，因此Y1也是高斯分布。其概率密度函数为
2????????y??c/?1????11??2fY1?y1;???fY1?y1;c,?,???exp??2?2/?1???2??2/?1?????对于第二个观察值在观察到Y1?y1条件下的分布。根据（3），
??2?? （4） ???Y2?c??Y1??2 （5）
38
此时Y2Y1?y1?N????c??y?,??，其概率密度函数为
21???y2?c??y1?2?fY2Y1?y2y1;???exp?? （6） 222?2??????1此时观察值Y1和Y2的联合密度函数就是（4）和（6）的乘积：
fY,Y?y2,y1;???fYY?y2y1;??fY?y1;?? （7）
21211同样
fy1???y3?c??y22??Y3Y2,Y1?y32,y1;???fY3Y21?y3y2;???2??2exp???2?2?? ?fY3,Y2,Y1?y3,y2,y1;???fY3Y2,Y1?y3y2,y1;??fY2,Y1?y2,y1;?? 一般情况下，
fYtYt?1,...,Y1?ytyt?1,...,y1;???fYtYt?1?ytyt?1;?? ?1???yt?c??yt?1?2? 2??2exp? ??2?2???则前t个观察值的联合密度为
fYt,Yt?1,....,Y1?yt,yt?1,...,y1;???fYtYt?1?ytyt?1;??fYt?1,...,Y1?yt?1,....,y1;?? 则完全样本似然函数为
TfYT,YT?1,....,Y1?yT,yT?1,...,y1;???fY1?y1;???fYtYt?1?ytyt?1;?? t?2进行对数变换，得到对数似然函数L???：
L????ln?fY1?y1;???T??ln?fYtYt?1?ytyt?1;??? t?2?? 将（4）和（10）代入（13），得到
?2?yc??11??21??L??????1???2ln?2???2ln??1??2???2?21??2 ?T?1T?y?c??y2t?1?2ln?2???T?12ln??2???t2?2t?2二．似然函数的矩阵表示
观察值写成向量形式为：
（8） （9）
10）
11）
12）
13）
14）
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（ （ （ （ （T?1y??y1,y2,...,yT?? （15）
可以看作是T为高斯分布的单个实现。其均值为
?E?Y1?????????EY??2?????? （16） ??????????EY???T??????这里??c/?1???。（15）表示成向量形式为：
E?Y???
其中?表示（16）的右边的?T?1?向量。Y的方差协方差矩阵为：
E??Y????Y??????? （17） ????其中
2?E?Y1???E?Y1????Y2????2?E?Y2????Y1???E?Y2??????????EY??Y??EY??Y????1??T??2???T?E?Y1????YT??????E?Y2????YT????? （18）
???2??E?YT????该矩阵元素对应于Y的自协方差。则AR?1?过程的第j阶自协方差为：
E?Yt????Yt?j?????2?j/?1??2? （19）
（18）可写作
???2V （20）
其中
?1??2??1??1??2V??121?????????T?1?T?2?T?3???T?1????T?2???T?3? （21）
?????1??将样本y看作由N??,??分布的一个简单抽样，样本似然值可根据多元高斯密度公式直接写成：
fY?y;????2??其对数似然值为：
?T/2??11/2?1?exp???y?????1?y???? （22）
?2? 40