其中特征根?1,?2,...,?p为特征方程?p??1?p?1?...??p?0的解。
?? 21
第五节 自回归移动平均过程ARMA ?,p?qARMA?p,q?表达式为：
Yt?c??1Yt?1??2Yt?2?....??pYt?p??t??1?t?1?...??q?t?q （53）
写成滞后算子的形式为：
?1??L??L122?....??pLp?Yt?c??1??1L?...??qLq??t （54）
2p两侧同时除以1??1L??2L?....??pL，从而得到
??Yt?????L??t （55）
其中
??L???1??L??L?....??L???c/?1?????....???
2p12p12p?1??L?...??L?q1q
??j?0?j??
从而可以发现，ARMA?p,q?过程的平稳性完全取决于回归参数?1,?2,...,?p而与移动平均参数无关。即ARMA?p,q?过程的平稳性条件为特征方程：
??1??1z??2z2?....??pzp?0
的根在单位圆外。
（53）变形：
Yt????1?Yt?1?????2?Yt?2????....??p?Yt?p?????t??1?t?1?...??q?t?q （56）
两边同时乘以Yt?j??，求期望得到自协方差。当j?q时，结果方程的形式p阶自协方差形式：
从而解为
???j??1?j?1??2?j?2?....??p?j?p j?q?1,q?2,..... （57）
?j?h1?1j?h2?2j?....?hp?pj （58）
j?q时的自协方差函数比较复杂，并且不具有应用意义。不过ARMA?p,q?过程的自相关
函数都具有拖尾特征。
ARMA?p,q?过程容易出现的两个问题：
1） 过度参数化问题。例如一个白噪声过程Yt??t也可以用?1??L?Yt??1??L??t表示。
22
此时无论?取何值，利用?1??L?Yt??1??L??t都能够很好的拟合数据，因此造成估计的困难。
2） ARMA?p,q?过程的表达式（54）的滞后多项式进行因式分解得到
?1??1L??1??2L?....?1??pL??Yt?????1??1L??1??2L?...?1??qL??t （59）
2pq假设自回归算子1??1L??2L?....??pL和移动平均算子1??1L?...??qL存在共同
????根（公因子），同时除以公因子，得到的过程ARMA?p?1,q?1?和原来的ARMA?p,q?过程相同。
23
第六节 MA?1?过程的可逆性及偏相关函数
一．MA?1?过程的可逆性
对于MA?1?过程
Yt????1??L??t
?t为白噪声。当??1时，表达式（60）能够表示成无穷阶的自回归过程：
?1??L??此时MA?1?过程可逆。
22L??3L3?.....??Yt?????t （60）
前面我们说过，对于MA?1?过程，其移动平均系数?和??1能够得到相同的自相关系数。
可逆性条件就是为了消除这种现象。从而可以避免某些估计和预测的算法失效。 二．偏自相关函数
对于p阶自回归过程Yt?c??1Yt?1??2Yt?2?....??pYt?p??t ，可以改记为：
Yt?c??k1Yt?1??kY2t??2....??kkYt?k??t （61）
这是考虑了k步延迟后的偏自相关系数，它排除了k?1个中间变量Yt?1,Yt?2,...,Yt?k?1的影响后，Yt和Yt?k的自相关系数。设Yt的均值为零，该自相关系数为：
?t,k?E?YYtt?k? （62）
Var?Yt?考虑（61）两侧同时乘以Yt?k，并取期望得到：
E?YYtt?k???k1E?Yt?1Yt?k???k1E?Yt?2Yt?k??....??kkE?Yt?kYt?k??E??txt?k? （63）
2由于Yt?1,Yt?2,...,Yt?k?1给定，且EYt?k?Var?Yt?，从而有
??E?YYtt?k???kkVar?Yt??E??tYt?k? （64）
当k?0时，?t与Yt?k无关，故
?kk?E?YYtt?k???t,t?k （65）
Var?Yt?所以当延迟k步时，AR?k?序列的偏自相关系数为?kk。偏自相关系数序列称为偏自相关函数。
根据上面的讨论，对于AR?p?过程，其偏自相关函数在p处截尾。而对于任何可逆MA过程，由于都能表示成无穷阶的自回归过程，因此具有拖尾的偏自相关函数。
下面用图表总结一下：
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表1 时间序列模型性质表
模型 性质 模型方程 AR(p) MA(q) ARMA(p,q) ?p?L?Yt??t ?p?z??0的根在单位圆外 Yt??q?L??t 无条件平稳 ?p?L?Yt??q?L??t ?p?z??0的根在单位圆外 平稳条件 可逆条件 ACF自相关 PACF偏自相关 无条件可逆 拖尾 在p截尾 ?q?z??0的根在单位圆外 在q截尾 拖尾 ?q?z??0的根在单位圆外 拖尾 拖尾 25