二、裂纹尖端应力场强度因子K1
在一无限宽板内，有长为2α的Ⅰ型扩展裂纹，板上承受有大小为σ的拉应力，则该裂纹尖端（即缺口根部）存在有三向拉应力，据弹性力学分析，在裂纹尖端前任一点(r，θ)，可建立其应力场的各应力分量如下：
σX σ√παcosθ（1 _ sinθ sin3θ） √2πr 2 2 2
KI cosθ（1 _ sinθ sin3θ） KI f x（θ） √2πr 2 2 2 √2πr
σy σ√παcos3θ（1 + sinθ sin3θ） √2πr 2 2 2
KI cos3θ（1 + sinθ sin3θ） KI f y（θ） √2πr 2 2 2 √2πr
σZ =μ（σX + σZ） μKI [f x（θ）+ f y（θ）] KI f z（θ） (平面应变)
√2πr √2πr σZ = 0 （平面应力）
τxy=σ√παsinθcosθcos3θ KI sinθcosθcos3θ KI f xy（θ） √2πr 2 2 2 √2πr 2 2 2 √2πr 其中： KI =σ√πα
且当r<<α，即愈接近裂纹尖端时，上述推导式的精确度越高(前提：材料为各向同性)
在裂纹延长线上：θ= 0，Sinθ= 0，cosθ=1
其τxy =0 σx=σy= K1 为最大值，裂纹易于沿该平面扩展， √2πr 该平面成为弱面
对于裂纹前端任意点，均有一一对应的r，θ，其应力场的应力分量的大小则取决于KI及f x（θ）、f y（θ）、f z（θ）、f xy（θ）和r
其中f x（θ）、f y（θ）、f z（θ）、f xy（θ）和r均是该应力场的应力分量的几何尺寸因子，表示了裂纹前端的应力场的分布情况；
而KI =σ√πα为该应力场所有应力分量都共有的因子，表示了裂纹前端的应力场的强弱，称为裂纹尖端应力场强度因子KI
KI的量纲为：kgf/mm3/2或kgf.mm-3/2
对应地，对于Ⅱ、Ⅲ型扩展裂纹，其对应的应力场强度因子为KⅡ、KⅢ
对于一般情况： K1=Yσ√α， 其中：α=1/2裂纹长度； 而Y为常数，与裂纹形状，加载方式、含裂纹的构件的几何因素等有关，无量纲；对于中心有穿透裂纹的无限宽板：Y=√π
三、平面应力及平面应变：
平面应力： 在Z方向上可自由变形而不受任何约束，其σz = 0，εz ≠ 0，是两 向拉应力状态，一般为薄板的应力表现状态；
平面应变： 在Z方向上受约束而固定不可自由变形，其εz = 0而σz ≠ 0，为三 向拉应力状态，为厚板的应力表现状态。
其σz =μ(σX+σY)，为三向拉应力状态，塑变困难，裂纹易于扩展，
其断裂时的脆性明显，是一种较危险的应力状态
四、临界裂纹尖端应力场强度因子——断裂韧性KIC K1=Yσ√α
带有裂纹的构件在受应力作用时，随应力的增加或裂纹的逐渐扩展（裂纹尺寸2α的增加），其裂纹尖端的应力场强度因子KI也随之增大，当KI达到一个临界值KIC时，裂纹将发生失稳快速扩展（指突然断裂），而该临界值KIC则成为该尺寸为2α的裂纹不发生快速失稳扩展的最大允许应力场强度因子值，成为材料抵抗已有裂纹失稳扩展的最大抗力。称之为临界应力场强度因子KIC，即断裂韧性KIC
断裂韧性KIC综合了应力σ及裂纹尺寸α两方面的因素，是仅与材料的内部品质如成分、相结构与组织结构、压力加工状态与热处理状态等相关的常数，与构件的尺寸、构件所受到的应力，构件内部所含的裂纹尺寸无关；表征材料抗裂纹失稳扩展的最大能力，也可认为是裂纹扩展的阻力（裂纹扩展的动力即是外加应力σ或裂纹尖端应力场强度因子KI）
平面应变条件下该临界值称为KIC；平面应力条件下临界值则称为KC； 且有：KC>KIC
对于Ⅱ、Ⅲ型扩展裂纹，其对应的临界裂纹尖端应力场强度因子为KⅡC、KⅢC 且有：KIC > KⅢC > KⅡC
一般地，只讨论KIC，其状态较为危险。
当K1?KIC时，裂纹将失稳快速扩展，材料将发生断裂；——裂纹失稳扩展判据 该判据成为描述脆性材料断裂的力学条件
对于一定的裂纹尺寸2α，使裂纹发生失稳扩展的应力σ叫裂纹扩展临界应力，或裂纹断裂强度，记为σC：σC = KIC / Y√α；
而在一定的应力σ下，裂纹如达到可发生失稳扩展的长度，称之为临界裂纹，其尺寸叫临界裂纹尺寸，记为αC：αC = KIC2/ Y2σ2
裂纹失稳扩展的判据成为： ① K1?KIC； ②σ?σC； ③α?αC 三者均是一个判据的三个表现方面，具有同等的效应。
αC与σC是相互对应的，在一定条件下： KIC =YσC√α = Yσ√αC
由此可见，KIC越高，则材料断裂的临界应力和临界裂纹尺寸越大，裂纹扩展时所需要的外力或其内部所允许含有裂纹尺寸就越大，该材料抵抗断裂的能力就越强。
Note：K1与KIC既密切相关，又相互有区别：
K1只是力学参量，表征材料裂纹尖端前沿的应力场的强弱，与材料本身无关，只与裂纹大小、构件的尺寸、所受到的外应力有关)；与材料的力学性能（如材料的抗裂纹扩展能力）无关， 而KIC为材料的力学性能指标之一，描述了材料抵抗裂纹失稳扩展的能力，与材料的材质、内部组织结构、轧制状态和热处理状态等密切相关。
只要裂纹尖端前的应力场强度因子：K1?KIC，裂纹即失稳。
二者的关系与σ和σS、σ和σC、σ与[σ]的关系相当，相当于一种量与度的关系。
五、裂纹尖端前塑性屈服区：
1．裂纹尖端前塑性区：
上述裂纹尖端前沿应力场的模型是完全在弹性断裂力学的基础上建立的，不适用于在裂纹尖端附近区域有屈服和塑性变形发生的情况，而裂纹尖端应力场的各应力分量均∝1/√2πr，故在裂纹的最尖端，即当r —> 0时，其各应力分量均—> ∞（这也是为什么有宏观裂纹的材料常发生低应力脆断的原因），故裂纹尖端附近区域的材料肯定将发生屈服和塑变，并使该区域的应力松驰。此时线弹性断裂力学不再适用
但如屈服区很小（脆性材料），则经过一定的修正，可认为线弹性断裂力学仍近似适用于塑变屈服区以外的应力场分析
2．屈服区尺寸
根据材料力学的理论，有：
σ1=(σX+σY)/2+{[ (σX+σY)/2]2+τXY}1/2 σ1，σ2，σ3为主应力
σ2=(σX+σY)/2-{[ (σX+σY)/2]2+τXY}1/2 对平面应力：σ3=0
平面应变：σ3= μ（σ1+σ2）
可以得到：σ1 KI cosθ（1 + sinθ） √2πr 2 2 σ2 KI cosθ（1 – sinθ） √2πr 2 2 σ3 = 0 或：
σ3 μ（σ1+σ2） 2μKI cosθ
√2πr 2 米赛斯屈服判据：
√1/2[(σ1—σ2) 2 + (σ2—σ3) 2 +(σ3—σ1) 2]?σS（第四强度理论） 该判据为等式时，成为该塑性屈服区的边界曲线方程（暂不考虑应力松弛的影响）：
√1/2[(σ1—σ2) 2 + (σ2—σ3) 2 +(σ3—σ1) 2]=σS 可推得其边界方程为： r KI2 [cos2θ(1+3sin2θ)] （平面应力） 2πσS2 2 2 或：r’ KI2 [(1-2μ)2cos2θ + 3 sin2θ]] （平面应变） 2πσS2 2 4 其形状为心形或8字形
在裂纹延长线上，θ= 0，r = r0，r0称为塑性区宽度： 有：r0 KI2 r0’ KI2 (1-2μ)2 2πσS2 2πσS2 一般说来，r0为r的量小值，所消耗的变形功也就越小，易成为扩展途径，与θ=0时σX =σY达到最大值相一致。
或屈雷斯屈服判据：τMAX = （σ1-σ3）?τS =σs/2 得到：r KI2 cos2θ(1+ sinθ)2
2πσS2 2 2 或：r’ KI2 cos2θ（1-2μ+ sinθ）2
2πσS2 2 2 同样可得：r0 KI2 r0’ KI2 (1-2μ)2 2πσS2 2πσS2
可见：①二种方式所得屈服区的边界r及r’的形式不同，但在裂纹扩展面上塑性屈服区的宽度r0与r0’却是一样的。
②因μ大约为1/3左右, 故r0’约为r0的1/9，也就是说平面应变状态的屈服区（应力松驰区）远小于平面应力状态，应力不易松弛，其应力状态远较平面应力状态为硬。
六、应力松驰对裂纹尖端前塑性屈服区的影响：
由于屈服区内的应力松弛后将此部分应力扩展迭加至周边区域，造成屈服区外的周边区域也发生屈服，使屈服区扩大，计算中应给与考虑：阴影面积应相等。
在裂纹延长线上，θ= 0， τxy =0 σy =σx= K1 r0 √2πr 对之积分，应有：∫0 σy d r =σys R0 R0：应力松弛后的屈服区的实际尺寸 σys R0 =∫0σy d r ∫0 KI d r KI√2r0 σys R0 √2πr √π R0 KI √2r0 KI2 其中：σys与σys’分别是不同 σys √ π π σys σs 应力状态下Y轴方向发 或： R0’ KI √2r0’ KI2 (1- 2μ) 生屈服时的σy值，称之
σys’ √ π π σys’σs 为y向有效屈服应力
塑性区中的最大主应力σ1所对应的方向上的有效屈服应力可直接称之为有效屈
服应力，一般将该方向标定为Y轴，故常将之记为：σys
平面应力状态下：因τxy =0，故σy、σx即是主应力，σ1=σ2=σy=σx，σ3=0 代入米赛斯屈服判据，可知屈服时（等号），σy =σys =σs；
平面应变状态下：也将主应力式代入米赛斯屈服判据，则可得：σys’ =σs/(1-2μ)
由此也可知：平面应力的σys<平面应变的σys’
但大多数厚板的中心虽然为平面应力状态，但其表面因垂向所受约束较内部为小，近似于平面应力状态，所以其总体实际的σys’ <σs/(1-2μ)
一般地，综合取：σys’= √2√2 σs 代入上述公式中，可得到： R0 KI2 2r0； R0’ KI2 KI2(1-2μ)2 2r0’ πσs2 πσys’ 2 πσs2 或：R0’ KI2 KI2 此时r0’ KI2 πσys’ 2 2√2πσs2 4√2πσs2 由此可知，应力松驰后塑性区宽度为其原有的宽度的2倍
七、塑性屈服区的修正及等效裂纹
由于塑性区的存在，裂纹尖端前沿的应力场发生了变化。大量实验证明，在σs较高，KIC较低时(R0较小)或试样尺寸较大，R0相对较小时，裂纹前大部分区域仍为弹性变形区；此时，只须对其略加修正，弹性断裂力学分析结果仍然适用。 由此引入“有效裂纹尺寸”概念：
将塑性区因松驰应力而增加了周边区域的应力的作用等效地视为裂纹长度增加了ry而使应力场扩展的作用。
此时如用有效裂纹长度2(α+ry)来代替原有裂纹长度2α，在分析和计算弹性变形区的应力场时，就可不考虑塑性区的存在及影响，原先推出的线弹性应力场理论(公式)仍然适用：
在裂纹生长线上，θ= 0 以O*为原点，σx*=σy*= KI/√2πr*
以O为原点，r = r*+ ry ==> r*= r - ry
即：σx* =σy* = KI/√2πr* = KI/√2π(r - ry) 在r = R0 处两曲线重合，有σy* =σys
σys =σy* = KI/√2π(R0 - ry) ==> ry = R0 - 1/2π（KI/σys）2 平面应力状态：σys =σs，ry= 1/2π（KI/σys）2= R0 /2 平面应变状态：σys =σs/√2√2，
ry’= R0’- 1/4√2π（KI/σys）2 = 1/4√2π（KI/σys）2 = R0’/2
因KI = Yσ√(α+ ry)； 将ry= 1/2π（KI/σys）2或ry’= 1/4√2π（KI/σys）2代入，
可得：KI = Yσ√α/√1 –1/2π Y2(σ/σs)2 = Yσ√α/ √1 –0.16Y2(σ/σs)2 KI = Yσ√α/√1 –1/4√2π Y2(σ/σs)2 = Yσ√α/ √1 –0.056Y2(σ/σs)2