式中：√1 –1/4√2π Y2 (σ/σs)2为KI的修正因子，在σ<<σs时，该因子—>1，说明塑性屈服区的影响很小，可不考虑；在σ—>σs时，因子影响最大，塑性屈服区的影响也最大，必须对之进行修正。 一般以σ/σs的比值大小来决定是否要修正。
§4-2裂纹扩展能量释放率GI及断裂韧性GIC
一、裂纹扩展能量释放率GI 1．裂纹扩展的能量分析
线弹性断裂力学处理带裂纹体构件的裂纹扩展判据问题，有两种方式： ①应力场的应力应变分析；②能量分析。
自然界一切过程均遵守能量守恒原理，其原则：一切自发过程均使体系自由能降低。
裂纹失稳扩展为自发过程：
分析裂纹失稳扩展过程中的能量变化，建立其平衡方程，就可获得裂纹失稳扩展的能量判据。该法能更直观、清楚地揭示断裂韧性的物理意义。
格里菲斯公式：σc = （2Eγ/πα）1/2 ===>σc √πα= 常数 γ：表面能 就是在能量平衡的基础上建立的，它将材料断裂后新增加的表面能作为裂纹扩展的阻力，与通过裂纹尖端的应力场的应力分析而得出的结论：σc √πα= KIC =常数完全吻合
2．裂纹扩展能量释放率GI
根据弹性理论结论，单位厚度的无限宽板，在受单向拉应力σ时，如出现长度为2α的裂纹，则其释放出来的弹性应变能为：
平面应力：U = -σ2πα2/ E
平面应变：U’= -(1-μ2)σ2πα2/ E
?U/?A则为裂纹扩展单位面积时，系统所释放（提供）的弹性能量。并成为推动裂纹扩展的动力，叫裂纹扩展力或裂纹扩展能量释放率，记为：GI ，其单位为：kgf.mm/mm2
则有：GI = -?U/?A = - ?/?(2α)(-σ2πα2/E) =σ2πα/E
或：GI’= -?U’/?A = - ?/?(2α)[-(1-μ2)σ2πα2/E] =(1-μ2)σ2πα/E GI随σ、α的增加而增加
二、临界裂纹扩展能量释放率——断裂韧性GIC 1．临界裂纹扩展能量释放率——断裂韧性GIC
另一方面，裂纹扩展将新增加材料的外表面，其新产生的单位面积的表面能U表则成为裂纹扩展的阻力，且该阻力=恒定值=常数
则有裂纹的失稳扩展判据： 动力?阻力 ==>GI?2U表，
实际金属材料在其裂纹扩展时，还须克服其裂纹尖端的塑性屈服区的塑性变形功Up。则裂纹的失稳扩展判据成为： GI?2U表+Up 仍旧 = 常数
此时，令其裂纹扩展的阻力为GIC：GIC=2U表+Up = 常数
则GIC成为裂纹不发生失稳扩展的裂纹扩展能量释放率GI的临界值，称为材料的临界裂纹扩展能量释放率或断裂韧性GIC
其意义与KIC一样，与GI的关系也类似KIC与KI
2．裂纹的失稳扩展判据：
裂纹发生失稳扩展的条件为：GI?GIC
同样也有相应的临界应力σc和临界裂纹尺寸αc: αc= E GIC/πσ2
σc = (E GIC/πα) 1/2 =[E (2U表+Up)/πα] 1/2 =[E (2γ+Up)/πα] 1/2 与格里菲斯——欧万公式形式上完全相同
其σc或αc也对应地有裂纹失稳扩展判据：①σ?σc；②α?αc
三、G1与K1，GIC与KIC关系
平面应力：GI =σ2πα/E = KI2/E GIC = KIC2/E
平面应变：GI’= (1-μ2)σ2πα/E =(1-μ2)KI2 /E GIC’= (1-μ2)KIC2/E
裂纹扩展能量释放率GI及断裂韧性GIC断裂判据仍然是建立在线弹性断裂力学的基础上，与断裂韧性KIC一样，也仅适用于脆性材料的断裂分析，不适于作塑性较好的材料的裂纹扩展的判据。只是由于在裂纹扩展阻力分析中加入了塑性变形功Up，相对而言应用时不如断裂韧性KIC的要求严格。
四、裂纹扩展阻力曲线及断裂判据：
裂纹扩展阻力：U阻=2U表+UP = R
其中仅UP与裂纹尺寸有关，U表与α无关。
U阻= R = R(α)—α关系曲线叫裂纹扩展阻力曲线或R曲线（实际的GIC—α曲线）
(Note：此时GIC不再是常数，而是随α变化的函数)
而裂纹扩展的动力：GI Y2σ2α 或：GI == (1-μ2)Y2σ2α E E 即GI = GI(α)与α保持直线函数关系：GI = kα
且其直线斜率k为σ的增函数，σ的增加会导致k的大幅上升
裂纹扩展阻力曲线：R曲线
在σ=σ0时，GI(α)= k0α与R(α)交于α=α0的A0点，此时如裂纹尺寸继续增加，其阻力将大于动力GI而不扩展；而α<α0的裂纹，GI>R，将自动扩展至α=α0后停止；
当σ增加至σ1（σ1>σ0）时，GI(α)= k1α, 交R(α)于A1（GI 1，α1），该裂纹将自动扩展至α1（α1>α0）后自动停止，此时的裂纹处于亚临界状态，即一定的应力σ就对应着一定的裂纹尺寸α，所有长度低于α的裂纹将会自动
扩展至α后自动停止扩展，此时如增加应力，裂纹就会对应地扩展到相应的尺寸并停止。
该曲线关系说明了材料内部在应力为σ下时可存在一定长度的裂纹，进一步证明了断裂力学的假设前提的正确性。
当σ增加到σc并使GIC与R(α)相切，此时已经扩展到相应和的αc尺寸的裂纹，如继续增加裂纹尺寸，其裂纹扩展动力GI仍将>阻力R(α)，裂纹就会结束亚临界扩展而继续扩展——发生失稳扩展，此时裂纹成为临界状态，尺寸为αc，外应力值为σc并GI=GIC
该切点有：GI=GIC；?GI/?α=?R/?α
而裂纹发生失稳扩展的判据成为：?GI/?α??R/?α(α?αc) 而在α<αc时：?GI/?α
§4-3弹塑性条件下的断裂韧性
屈服区尺寸 R0 ∝（KIC /σs）2
KIC及GIC判据均只适用于裂纹前端处于线弹性状态或屈服区相对较小的状况，即：①脆性材料，高强度钢等(σs高)；②大截面构件（屈服区相对小)。 而对一些塑性材料制成的中小型构件，KIC及GIC判据不再适用。
一、J积分及临界J积分——断裂韧性JIC
适用于中、低强度钢的大范围屈服或整体屈服的弹塑性破坏 1．裂纹尖端的能量的线积分JI ：
单位厚度（B = 1）的板状试样中有贯穿裂纹时，裂纹扩展的动力为GI = - ?U/?A B：试样厚度； U：试样内的势能U= Ue–W；Ue：应变能； W：外力所作的功
有一单位厚度的裂纹体，含I型扩展裂纹，围绕裂纹尖端逆时针取一回路Γ 则有：
GI - ?U ?(Ue–W) (B = 1，所以?A = ?α) ?A ?α
其中：Ue =∮ΓdUe = ∫∫ωdA= ∫∫ωdxdy ω：回路Γ内的弹性应变能密度 W =∮Γd W =∮Γ u×T dS T：回路Γ外对Γ内任一点的的作用力 Ue–W = ∫∫ωdxdy -∮Γ u×T dS u：受到作用力T后的Γ内点的位移矢量
S：Γ的周界弧长；dS：Γ上单位长度
GI ?(Ue–W) ∮Γ〔ωdy ?u ×T dS 〕
?α ?x
成为线弹性条件下的GI的能量线积分的表达式，该式仅在线弹性条件下成立，
而在大范围屈服条件下，如将ω扩充定义为弹塑性应变能密度，该能量线积分式仍然成立，将之定义为J积分：
JI ?(Ue–W) ∮Γ〔ωdy ?u ×T dS 〕
?α ?x
JI指围绕裂纹尖端的任意积分回路的能量线积分，并且在线弹性条件下， JI＝GI
2．J积分JI的特点：
小应变条件下，J积分JI与积分路径Γ无关——J积分的永恒性
所以：①积分回路很小时，其包围区域可仅为裂纹尖端，此时J积分仅描述了裂
纹尖端聚集的能量，也即该裂纹尖端的应力应变的集中程度，可表征该裂纹的扩展能力，即JI也可看成裂纹扩展的动力；
②积分回路很大时，积分回路可扩展至裂纹尖端屈服区之外而进入完全的线弹性变形区，此时可在完全的线弹性状态下求解该J积分，解决弹塑性变形条件下的裂纹扩展问题。
3．断裂韧性JIC及J积分判据：
JI表示了裂纹尖端所聚集的能量，也同样地存在有一个临界值JIC，在JI?JIC时，裂纹开始发生扩展（构件开裂）。
JIC成为临界J积分，可称为断裂韧性JIC，它同样地是一个只与材料品质相关的力学性能指标，表征材料的抗裂纹扩展的能力尤其是抵抗裂纹开始扩展的能力。
在线弹性条件下：JI＝GI = KI2 /E ；或：JI’＝GI’= (1-μ2) KI2 /E
JI?JIC 成为裂纹扩展的J积分判据，但须注意的是，该判据只能处理裂纹开始扩展点的问题，也即是说JIC表征了材料抵抗裂纹开始扩展的能力
但由于塑性变形不可逆，不允许卸载，故J积分原则上不能处理裂纹失稳扩展的问题。JIC指裂纹开始扩展点，而非失稳扩展点。
二、裂纹尖端张开位移(COD)及断裂韧性δC： 1．临界弹性应变量理论：
该理论认为，在塑性变形被约束时，当材料中的裂纹尖端附近区域的弹性应变量达到某一临界值εC时，裂纹将失稳扩展，材料就会发生断裂。
但该临界弹性应变量εC值一般很小，且在有裂纹的状态下其分布不均匀，不易测量。
2．裂纹尖端张开位移(COD)及断裂韧性δC：
裂纹尖端前沿屈服区的产生，将使裂纹尖端张开一定的距离，称之为裂纹尖端张开位移(COD)，可用该位移来间接表示应变量的大小，并可以以该位移的临界值来评定材料抗裂纹扩展的能力，并称之为断裂韧性δC
裂纹由O→O’，α→2(α+ry)，而2V即为裂纹尖端张开位移COD，记为δ=2V
线弹性条件下（小范围屈服）： COD =δ=2V = 4σ2α/Eσs 达到临界条件时，δc = 4σc2α/Eσs= 4σ2αc/Eσs
弹塑性条件下：——带状屈服模型(D-M模型) 可得：δ=2V = ?σ2α/Eσs δc = ?σc2α/Eσs= ?σ2αc/Eσs δC可作为断裂判据及设计指标
3．δC与KIC、GIC、JIC之间的关系： 平面应力：δc = ?σc2α/Eσs = KC2/Eσs = GC/σs= JC/σs 平面应变：须经修正：δc = (1-μ2) KIC2 /nEσs = GIC/nσs= JIC/nσs
其中n为关系因子，且在1—1.5~2之间，平面应力时n =1；平面应变时n =2
§4-4影响断裂韧性的因素
一、与常规机械性能指标间关系 1．与强度、塑性：
一般认为，断裂韧性KIC(GIC，JIC，δc)是强度与塑性的综合表现，同时提高二者的因素均提高材料的断裂韧性；
2．与冲击韧性：
韧性指标分：静韧性、缺口韧性、缺口冲击韧性、裂纹韧性，均为材料的断裂韧性指标，一般地，对提高冲击韧性αK值(AKU、AKV)的措施，均可提高KIC；
二者区别：裂纹尖端尖锐，应力集中严重，一般可满足平面应变要求，发生脆断，仅表示了裂纹失稳扩展过程所消耗能量；冲击韧性缺口根部半径相对较大，一般不满足平面应变要求，总存在有较大塑变的纤维区，且反映了裂纹形成与扩展全过程中消耗的全部能量。
二、与材料成分、内部组织结构的关系
晶粒尺寸、杂质含量、第二相的含量及分布、显微组织等：
1．合金元素：因其对钢作用的多样化，故影响不一致，一般均通过其对组织结构的影响而影响KIC：
①能细化晶粒、扩大A区的元素(Mn、W)以及细化马氏体M并使之板条化、改善碳化物的形状及分布的元素其，均提高KIC；
②而固溶强化作用强烈，且形成第二相的元素，降低KIC；
2．晶粒尺寸：细化晶粒能同时提高强度和塑性，所以也能大幅地提高αK值和KIC；
特殊情况：某些结构钢在超高温淬火后（其晶粒十分粗大，淬火ToC>980oC，而常规淬火温度为850℃—870℃左右）却出现KIC增加但αK却降低的现象；
3．杂质及第二相：