27. 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。参见图4.2所示的原理图。假设 M = 2千克，m = 0.5千克，l = 1米 定义状态变量为 x1??, 输出变量为 x2???,x3?x,? x4?xy1???x1,y2?x?x3 试推导该系统的状态空间表达式。 若要求闭环极点为 ?1??4?j4,?2??4?j4,?3??20,?4??20 试确定状态反馈增益矩阵K。 利用已被求出的状态反馈增益矩阵K，用计算机仿真检验该系统的性能。试写出一个MATLAB程序，以求出该系统对任意初始条件的响应。对一组初始条件 x1(0)?0,x2(0)?0,x3(0)?0,x4(0)?1米/秒 试求x1(t)，x2(t)，x3(t)和x4(t)对t的响应曲线。 28. 考虑4.4节讨论的倒立摆系统。假设M、m和l 的值与4.4节中的相同。对于该系统，状态变量定义为 x1??,x2???,x3?x,? x4?x 试求该系统的状态空间表达式。 假设采用状态反馈控制律u??Kx，试设计一个稳定的控制系统。考虑以下两种情况下的期望闭环极点 情况1：?1??1.3?j,?2??1.3?j,?3??20,?4??20； 情况2：?1??2,?2??2,?3??10,?4??10 试确定在这两种情况下的状态反馈增益矩阵K。再求设计出的系统对初始条件 ?(0)?0 ?(0)?0.1弧度,??(0)?0,x(0)?0,x 的响应，并比较这两种系统的响应。 29. 考虑4.7节讨论的倒立摆系统。设计一个状态反馈增益矩阵K，其中已知K??k1,k2,k3,k4?和积分增益常数kI。假设该系统的期望闭环极点为?1??2, ?2??2,?3??4??5??10。试利用MATLAB确定增益矩阵K和积分增益常数kI。再求当单位阶跃输入作用于小车位置时的阶跃响应曲线。 30. 设系统状态方程及边界条件为： x?u, x(0)?16, x(tf)?0 试求最优控制u(t)，使下列性能指标 J?tf?取最小值。 21tf2udt ?0231. 求从x(0)?1到直线x(t)?2?t之间距离最短的曲线及最优终端时间。 32. 系统状态方程及边界条件为： ?x1?x2 ? x?u?2 J??x1(0)?1 ?x(0)?1?2?x1(0)?0 ?x(0)?0?2试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。 112udt ?0233. 设系统状态方程及初始条件为 x?u;x(0)?1;x(tf)?0 tf未给定，试求最有控制及tf使下列指标取极值，并求出最优轨线。 34. 设系统状态方程及初始条件为： x1?x1, x1(0)?0 x2?u, x2(0)?0 中断状态受如下约束 M?x1(1)?x2(1)?1?0 试求最优控制是下列性能指标 取极小值，且求出最优轨线。 35. 设一阶离散系统方程为 J?1t2u(t)dt ?02x(k?1)?x(k)?au(k) 边界条件为：x(0)?1,x(10)?0。试求最优控制序列，使下列性能指标 192 J??u(k) 2K?0取极小值，并求出状态序列。 36. 设系统状态方程及边界条件为: x?u; x(t0)?x0,x(T)?0 1T2试求最优控制是指标J??udt取极值，并求出最优轨线及最优性能指2t0标。 37. 设系统状态方程及边界条件为: x?u;x(0)?1,x(tf)?0 试求最有控制及tf使J?tf?2?tf0u2(t)dt取极值。 38. 设系统状态方程为 x1?x2 x2?u 试确定最优控制u?t?，使下列性能指标 J???012x1?u2?dt ?2取极小值。 39. 设有下列受控系统状态方程： 1.??x1???10??x1??0??x1??10??x1??0? 2.??u?????u ?????????????x2??0?2??x2??1??x2??01??x2??1?3.??x1??01??x1??0????01??x???1?u x??2????2??试分别研究有无最优控制使下列性能指标 1?22J???x1?x2?u2?dt 20?？分析受控系统状态可控性、取极小值？是否存在正定矩阵K稳定性与最优解的关系。